Pierwiastki

Czym są pierwiastki kwadratowe i sześcienne? W jaki sposób prawidłowo wykonywać działania na pierwiastkach? Tego dowiesz się z artykułu. Sprawdź!

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia.
Symbolicznie możemy zapisać to:

\sqrt{a} = b, bo b^2 = a

Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.
Symbolicznie możemy zapisać to:

\sqrt[3]{a} = b, b^3 = a 

Przykłady:

• \sqrt{25} = 5, bo 5^2 = 25
• \sqrt{81} = 9, bo 9^2 = 81
• \sqrt[3]{27} = 3, bo 3^3 = 27
• \sqrt[3]{64} = 4, bo 4^3 = 64

Wykonując działania na pierwiastkach, warto pamiętać o kilku własnościach:

Dla a ≥ 0 mamy:

• \sqrt{a^2} = a
• (\sqrt{a})^2 = a
• \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a

Dla dowolnej liczby a mamy:

• \sqrt[3]{a^3} = a
• (\sqrt[3]{a})^3 = a
• \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a

Działania na pierwiastkach

Własności pierwiastkowania:

1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.

Dla a ≥ 0 i b ≥ 0 mamy: 

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Dla dowolnych liczb a i b mamy:

\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}

2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.

Dla a ≥ 0 i b > 0 mamy: 

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Dla dowolnych liczb a i b ≠ 0 mamy:

\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}

Przykłady:

• \sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 10 = 60
• \sqrt[3]{-64 000} = \sqrt[3]{-64} \cdot \sqrt[3]{1000} = -4 \cdot 10 = -40
• \sqrt{\frac{121}{49}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}
• \sqrt[3]{\frac{216}{512}} = \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{512}} = \frac{6}{8}

Obliczanie wartości pierwiastka

Obliczając wartość pierwiastka, możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze.
Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń.

\sqrt{576} = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24

\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} = 2 \cdot 3 = 6

\sqrt[3]{648} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3} = 6\sqrt[3]{3}

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka.

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby, z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka. 

Przykłady:

• \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}
• \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka.
Poniższe przykłady prezentują, jak należy to zrobić.

Przykłady:

• 2\sqrt{3} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}
• 6\sqrt{3} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108}
• 5\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{125 \cdot 4} = \sqrt[3]{500}
• 7\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{343 \cdot 5} = \sqrt[3]{1715}

Webinar

Zobacz webinar powtórkowy, podczas którego przeanalizowane zostały najważniejsze zagadnienia dotyczące potęg i pierwiastków.

Zobacz też:

Potęgi (czytaj)