W artykule
Równania spędzają sen z powiek niejednemu uczniowi. Jak je rozwiązywać? W jaki sposób przekształcać wzory, aby wyznaczyć niewiadomą? Dowiedz się z artykułu.
Liczby spełniające równania
Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome.
Liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej do równania sprawiają, że otrzymujemy równość prawdziwą, nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.
Przykłady:
- równanie x + 6 = 10 spełnia liczba 4, gdyż 4 + 6 = 10, czyli x = 4
- równanie 2x + 1 = 1 spełnia liczba 0, gdyż 2\cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1, czyli x = 1
Równania z jedną niewiadomą mogą:
» nie mieć żadnego rozwiązania – równania sprzeczne;
» mieć jedno rozwiązanie;
» mieć nieskończenie wiele rozwiązań – równania tożsamościowe.
Przykłady:
- jedno rozwiązanie ma równanie x + 5 = 0, spełnia je liczba -5, czyli x = -5
- równanie x + 2 = x + 1 nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba → równanie sprzeczne
- nieskończenie wiele rozwiązań ma równanie x + 2 = 2 + x, spełnia je każda liczba → równanie tożsamościowe
Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie to zbiór rozwiązań tego równania.
Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne.
Przykład:
- równania x+ 2 = 5 i x –\ 3 = 0 są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3
Jak rozwiązywać równania?
Aby obliczyć, jaka liczba spełnia równanie, należy je rozwiązać.
Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.
Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.
Przykłady:
1) dodanie tego samego wyrażenia
x-10=14\space \space \space|+10\ \ \ (dodajemy po obu stronach równania liczbę 10)
x=24
2) odjęcie tego samego wyrażenia
y+13=23\space \space \space |-13\ \ \ (odejmujemy od obu stron równania liczbę 13)
y=10
3) pomnożenie przez tę samą liczbę
0,5x=7\space \space \space |\cdot2\ \ \ (mnożymy obie strony równania przez 2)
x=14
4) podzielenie przez tę samą liczbę
3y=27\space \space \space|:3\ \ \ (dzielimy obie strony równania przez 3)
y=9
Przekształcanie wzorów
Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.
Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie/odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie/dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.
Przykłady:
1) dodawanie lub odejmowanie tego samego wyrażenia
Ze wzoru z+p=k\space wyznaczamy zmienną z
z+p=k \space \space \space | -p
z=k-p
{\text{Ze wzoru}} \space k-5=x\space {\text{wyznaczamy zmienną}}\space k
k-5=x \space \space \space| +5
k=x+5
2) mnożenie lub dzielenie przez to samo wyrażenie
Ze wzoru \frac{m}{z}=y+l, gdzie z\ne0, wyznaczamy zmienną m.
\frac{m}{z}=y+l\space \space \space |\cdot z
m=(y+l)\cdot z
Ze wzoru dt=x+5 wyznaczamy zmienną d
dt=x+5\space \space \space| :t,\space t\ne0
d=\frac{x+5}{t}
Zobacz też:
Wyrażenia algebraiczne (czytaj)
Webinar
Obejrzyj też webinar powtórkowy, podczas którego przeanalizowaliśmy najważniejsze zagadnienia dotyczące wyrażeń algebraicznych i równań.
Utrwal wiedzę
Rozwiąż zadania do tego tematu i utrwal wiedzę. Następnie sprawdź swoje odpowiedzi z rozwiązaniami przygotowanymi przez nauczycieli Odrabiamy.pl.