Skip to content

Wyra偶enia algebraiczne

W artykule

Czym s膮 wyra偶enia algebraiczne? Co nazywamy jednomianami? jak wykonywa膰 dzia艂ania na wyra偶eniach algebraicznych? Sprawd藕 w artykule.

Wyra偶enia algebraiczne to wyra偶enia sk艂adaj膮ce si臋 z liczb, liter, znak贸w dzia艂a艅 i nawias贸w.

Przyk艂ady:

{\text{a)}} \space x+5
{\text{b)}} \space x^2-y^2
{\text{c)}} \space 2+a
{\text{d)}} \space 3x-5y
{\text{e)}} \space y^2
{\text{f)}} \space \frac{1}{2}ah
{\text{g)}} \space -\frac{3}{4}

Uwaga:

Wyra偶enie 3鈰厁 mo偶emy zapisa膰 pro艣ciej jako 3x.
Wyra偶enie 3鈰(m + n) mo偶emy zapisa膰 pro艣ciej jako 3(m + n).

Uwaga!

Je艣li w danym wyra偶eniu po kropce oznaczaj膮cej znak mno偶enia wyst臋puje liczba, NIE WOLNO pomin膮膰 kropki.

Wyra偶enia 3 + x 鈰 5 nie mo偶na zapisa膰 jako \sout{3 + x5}鈥.
Wyra偶enia (3m + n)鈰7 nie mo偶na zapisa膰 jako \sout{(3m + n)7}鈥.

W poni偶szej tabeli znajdziesz przyk艂adowe聽wyra偶enia algebraiczne i聽spos贸b ich odczytywania.聽聽

Wyra偶enie algebraiczne Spos贸b odczytywania
3 + b  suma liczb 3 i b 
a - b  r贸偶nica liczb a - b 
x 路 y  iloczyn liczb x i y 
m : 2 iloraz liczb m i 2
2y podwojona liczba y 
1/2z po艂owa liczby z 
1/3b trzecia cz臋艣膰 liczby b 
x虏 kwadrat liczby x 
-2kl iloczyn liczb -2, k i l

Warto艣ci liczbowe wyra偶e艅 algebraicznych

Aby obliczy膰 warto艣膰 liczbow膮 wyra偶enia algebraicznego nale偶y w miejsce liter podstawi膰 odpowiednie liczby.

Przyk艂ady:

Oblicz warto艣膰 liczbow膮 wyra偶enia 2y + 3y^2 鈭 10 dla y = 2.

W miejsce y wstawiamy 2.

2\cdot 2 + 3 \cdot 2^2-10=4+3 \cdot 4-10=
=4+12-10=16-10=6


Warto艣膰 wyra偶enia 2y + 3y^2 鈭 10 dla y = 2 wynosi 6.

Jednomiany

W wyra偶eniach algebraicznych poszczeg贸lne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przyk艂ady jednomian贸w: -7b,\ 4bk,\ 10z,\ 5t^2,\ x,\ -5

Liczb臋 wyst臋puj膮c膮 w danym jednomianie nazywamy wsp贸艂czynnikiem liczbowym jednomianu.

Przyk艂ady:

  • 13k^2  鈫 wsp贸艂czynnik liczbowy: 13
  • 鈭4xyz  鈫 wsp贸艂czynnik liczbowy: -4

W celu przedstawienia wyra偶enia algebraicznego w spos贸b bardziej przejrzysty nale偶y uporz膮dkowa膰 go, czyli doprowadzi膰 do najprostszej postaci.
Pami臋taj, aby w ka偶dym z jednomian贸w najpierw sta艂a liczba, a nast臋pnie litera lub litery w kolejno艣ci alfabetycznej!

Przyk艂ady:

{\text{a)}} \space \frac{1}{4}\cdot16x\cdot x\cdot 3y=\frac{1}{4}\cdot 16\cdot x\cdot x\cdot 3\cdot y=
=12\cdot x^2\cdot y=12x2y
{\text{b)}} \space (-15k)\cdot (-3p)=(-15)\cdot k\cdot (-3)\cdot p=
=45\cdot k\cdot p=45kp

Sumy algebraiczne

Wyra偶enie algebraiczne powsta艂e po dodaniu jednomian贸w nazywamy sum膮 algebraiczn膮.
Dodawane jednomiany nosz膮 nazw臋 wyraz贸w sumy. Sum臋 algebraiczn膮 mo偶emy nazwa膰 tak偶e wielomianem.

Przyk艂ady sum algebraicznych:

{\text{a)}} \space 8k-5l-10q
{\text{b)}} \space 67r+(-9p)-3

Je偶eli podczas dodawania lub odejmowania jednomian贸w spotkamy si臋 z jednomianami r贸偶ni膮cymi si臋 tylko wsp贸艂czynnikiem liczbowym lub kolejno艣ci膮 czynnik贸w, w贸wczas m贸wimy, 偶e jednomiany s膮 podobne.

Przyk艂ady jednomian贸w podobnych:

{\text{a)}} \space 4xy^2\space i \space 16y^2x 
{\text{b)}} \space 14nm \space i \space (-16)mn
{\text{c)}} \space 3k \space i\space8k

Redukcja wyraz贸w podobnych

Redukcja wyraz贸w podobnych polega na dodaniu lub odj臋ciu wyraz贸w podobnych.

Przyk艂ady redukcji wyraz贸w podobnych:

2xy+6z-10xy+z-k=-8xy+7z-k


Jednomiany podobne to: 2xy-10xy oraz 6zz.

8x+2y+9x^2+7-x-3y-x^2=
=8x^2+7x-y+7


Jednomiany podobne to: 9x^2 i -x^2, 8x-x,\ 2y-3y.

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawias贸w i porz膮dkowanie otrzymanego wyra偶enia algebraicznego.

Przyk艂ady:

{\text{a)}} \space (x-y)+(4x-2y)=x-u+4x-2y=5x-3y
{\text{b)}} \space 7k-9m+(11m-4k)=7k-9m+11m4k=
=3k+2m

Uwaga 鈥 wa偶na zasada!

Je艣li w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje si臋 znak minus, to opuszczaj膮c nawias, nale偶y znaki wszystkich wyraz贸w z nawiasu zmieni膰 na przeciwne.

Przyk艂ady:

{\text{a)}} \space 9l-10k-(11l+7k-11t)=
=9l-10k-11l-7k+11t=-2l-17k+11t
{\text{b)}} \space 8+2k-(6k+5m)=8+2k-6k-5m=
=8-4k-5m

Mno偶enie jednomian贸w przez sumy algebraiczne

Mno偶enie jednomian贸w przez sumy algebraiczne polega na pomno偶eniu jednomianu przez ka偶dy wyraz sumy.

Przyk艂ady:

{\text{a)}} \space 9a(4c+9b)=9a\cdot4c+9a\cdot9b=36ac+81ab
{\text{b)}} \space (a-bc)\cdot5xy=a\cdot5xy-bc\cdot 5xy=5axy-5bcxy

Mno偶enie sum algebraicznych

Mno偶enie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mno偶enia jednomianu przez sum臋 algebraiczn膮. Wystarczy tylko pomno偶y膰 ka偶dy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je doda膰.

(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=
=mk+ml+nk+nl

Schemat mno偶enia sum algebraicznych:

Przyk艂ady:

{\text{a)}} \space (3k-1)(2+t)=
=3k\cdot 2+3k\cdot t+(-1)\cdot 2+(-1)\cdot t=
=6k+3kt-2-t
{\text{b)}} \space (6l-7b)(9r+4q)=
=6l\cdot9r+6l\cdot4q+(-7b)\cdot(9r)+(-7b)\cdot4q=
=54lr+24lq-63br-28bq

Wy艂膮czanie wsp贸lnego czynnika przed nawias

Mno偶enie jednomian贸w i sum algebraicznych prowadzi艂o do powstania sumy algebraicznej. Czasami warto wykona膰 odwrotn膮 operacj臋, czyli zamieni膰 sum臋 algebraiczn膮 na iloczyn jednomianu i kr贸tszej sumy algebraicznej. Tak膮 operacj臋 nazywamy wy艂膮czaniem czynnika przed nawias.

Jak to zrobi膰?

Mamy sum臋: 8xy + 2x + 9kx + 17x.

  • Z ka偶dego wyrazu sumy wybieramy powtarzaj膮cy si臋 element.
    W podanym przyk艂adzie b臋dzie to x.
    8xy + 2x + 9kx + 17x
  • Wyci膮gamy powtarzaj膮cy si臋 element przed nawias tak, by po pomno偶eniu otrzyma膰 pocz膮tkow膮 sum臋 algebraiczn膮. Z pozosta艂ych element贸w ka偶dego jednomianu tworzymy sum臋 algebraiczn膮.
    x(8y + 2 + 9k + 17)

Przyk艂ady:

{\text{a)}} \space 9x-3y+18k=3\cdot3x+3\cdot(-y)+3\cdot6k=
=3(3x-y+6k)
{\text{b)}} \space 5kl+10xk-20qk=
=5k\cdot l+5k\cdot2x+5k\cdot(-4q)=5k(l+2x-4q)

Zobacz te偶:

R贸wnania (czytaj)

Webinar

Zobacz webinar powt贸rkowy, podczas kt贸rego przeanalizowane zosta艂y najwa偶niejsze zagadnienia dotycz膮ce wyra偶e艅 algebraicznych i r贸wna艅.

Utrwal wiedz臋

Rozwi膮偶 zadania do tego tematu i utrwal wiedz臋. Nast臋pnie sprawd藕 swoje odpowiedzi z rozwi膮zaniami przygotowanymi przez nauczycieli Odrabiamy.pl.

Zadanie. 1 Zadanie. 2 Zadanie. 3

Czytaj wi臋cej

Najnowsze posty z kategorii Algebra

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl