Skip to content

Wyrażenia algebraiczne

W artykule

Czym są wyrażenia algebraiczne? Co nazywamy jednomianami? jak wykonywać działania na wyrażeniach algebraicznych? Sprawdź w artykule.

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

{\text{a)}} \space x+5
{\text{b)}} \space x^2-y^2
{\text{c)}} \space 2+a
{\text{d)}} \space 3x-5y
{\text{e)}} \space y^2
{\text{f)}} \space \frac{1}{2}ah
{\text{g)}} \space -\frac{3}{4}

Uwaga:

Wyrażenie 3⋅x możemy zapisać prościej jako 3x.
Wyrażenie 3⋅(m + n) możemy zapisać prościej jako 3(m + n).

Uwaga!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba, NIE WOLNO pominąć kropki.

Wyrażenia 3 + x ⋅ 5 nie można zapisać jako \cancel{3 + x5}​.
Wyrażenia (3m + n)⋅7 nie można zapisać jako \cancel{(3m + n)7}​.

W poniższej tabeli znajdziesz przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.  

Wyrażenie algebraiczne Sposób odczytywania
3 + b  suma liczb 3 i b 
a - b  różnica liczb a - b 
x · y  iloczyn liczb x i y 
m : 2 iloraz liczb m i 2
2y podwojona liczba y 
1/2z połowa liczby z 
1/3b trzecia część liczby b 
kwadrat liczby x 
-2kl iloczyn liczb -2, k i l

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.

Przykłady:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia 2y + 3y^2 − 10 dla y = 2.

W miejsce y wstawiamy 2.

2\cdot 2 + 3 \cdot 2^2-10=4+3 \cdot 4-10=
=4+12-10=16-10=6


Wartość wyrażenia 2y + 3y^2 − 10 dla y = 2 wynosi 6.

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: -7b,\ 4bk,\ 10z,\ 5t^2,\ x,\ -5

Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • 13k^2  → współczynnik liczbowy: 13
  • −4xyz  → współczynnik liczbowy: -4

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.
Pamiętaj, aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba, a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

{\text{a)}} \space \frac{1}{4}\cdot16x\cdot x\cdot 3y=\frac{1}{4}\cdot 16\cdot x\cdot x\cdot 3\cdot y=
=12\cdot x^2\cdot y=12x2y
{\text{b)}} \space (-15k)\cdot (-3p)=(-15)\cdot k\cdot (-3)\cdot p=
=45\cdot k\cdot p=45kp

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.
Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.

Przykłady sum algebraicznych:

{\text{a)}} \space 8k-5l-10q
{\text{b)}} \space 67r+(-9p)-3

Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników, wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Przykłady jednomianów podobnych:

{\text{a)}} \space 4xy^2\space \text{i} \space 16y^2x 
{\text{b)}} \space 14nm \space \text{i} \space (-16)mn
{\text{c)}} \space 3k \space \text {i}\space8k

Redukcja wyrazów podobnych

Redukcja wyrazów podobnych polega na dodaniu lub odjęciu wyrazów podobnych.

Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

2xy+6z-10xy+z-k=-8xy+7z-k


Jednomiany podobne to: 2xy-10xy oraz 6zz.

8x+2y+9x^2+7-x-3y-x^2=
=8x^2+7x-y+7


Jednomiany podobne to: 9x^2 i -x^2, 8x-x,\ 2y-3y.

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

{\text{a)}} \space (x-y)+(4x-2y)=x-u+4x-2y=5x-3y
{\text{b)}} \space 7k-9m+(11m-4k)=7k-9m+11m4k=
=3k+2m

Uwaga – ważna zasada!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias, należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne.

Przykłady:

{\text{a)}} \space 9l-10k-(11l+7k-11t)=
=9l-10k-11l-7k+11t=-2l-17k+11t
{\text{b)}} \space 8+2k-(6k+5m)=8+2k-6k-5m=
=8-4k-5m

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.

Przykłady:

{\text{a)}} \space 9a(4c+9b)=9a\cdot4c+9a\cdot9b=36ac+81ab
{\text{b)}} \space (a-bc)\cdot5xy=a\cdot5xy-bc\cdot 5xy=5axy-5bcxy

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną. Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=
=mk+ml+nk+nl

Schemat mnożenia sum algebraicznych:

Przykłady:

{\text{a)}} \space (3k-1)(2+t)=
=3k\cdot 2+3k\cdot t+(-1)\cdot 2+(-1)\cdot t=
=6k+3kt-2-t
{\text{b)}} \space (6l-7b)(9r+4q)=
=6l\cdot9r+6l\cdot4q+(-7b)\cdot(9r)+(-7b)\cdot4q=
=54lr+24lq-63br-28bq

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej. Czasami warto wykonać odwrotną operację, czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.

Jak to zrobić?

Mamy sumę: 8xy + 2x + 9kx + 17x.

  • Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element.
    W podanym przykładzie będzie to x.
    8xy + 2x + 9kx + 17x
  • Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną. Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną.
    x(8y + 2 + 9k + 17)

Przykłady:

{\text{a)}} \space 9x-3y+18k=3\cdot3x+3\cdot(-y)+3\cdot6k=
=3(3x-y+6k)
{\text{b)}} \space 5kl+10xk-20qk=
=5k\cdot l+5k\cdot2x+5k\cdot(-4q)=5k(l+2x-4q)

Zobacz też:

Równania (czytaj)

Webinar

Zobacz webinar powtórkowy, podczas którego przeanalizowane zostały najważniejsze zagadnienia dotyczące wyrażeń algebraicznych i równań.

Utrwal wiedzę

Rozwiąż zadania do tego tematu i utrwal wiedzę. Następnie sprawdź swoje odpowiedzi z rozwiązaniami przygotowanymi przez nauczycieli Odrabiamy.pl.

Zadanie. 1 Zadanie. 2 Zadanie. 3

Czytaj więcej

Najnowsze posty z kategorii Algebra