Skip to content

Pierwiastki

W artykule

Czym s膮 pierwiastki kwadratowe i sze艣cienne? W jaki spos贸b prawid艂owo wykonywa膰 dzia艂ania na pierwiastkach? Tego dowiesz si臋 z artyku艂u. Sprawd藕!

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy tak膮 nieujemn膮 liczb臋 b, kt贸rej kwadrat jest r贸wny liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy mo偶emy nazwa膰 r贸wnie偶 pierwiastkiem drugiego stopnia.
Symbolicznie mo偶emy zapisa膰 to:

\sqrt{a} = b, bo b^2 = a

Pierwiastkiem sze艣ciennym z liczby a nazywamy tak膮 liczb臋 b, kt贸rej sze艣cian (trzecia pot臋ga) jest r贸wny liczbie a.

Pierwiastek sze艣cienny mo偶emy nazwa膰 tak偶e pierwiastkiem trzeciego stopnia.
Symbolicznie mo偶emy zapisa膰 to:

\sqrt[3]{a} = b, b^3 = a 

Przyk艂ady:

  • \sqrt{25} = 5, bo 5^2 = 25
  • \sqrt{81} = 9, bo 9^2 = 81
  • \sqrt[3]{27} = 3, bo 3^3 = 27
  • \sqrt[3]{64} = 4, bo 4^3 = 64

Wykonuj膮c dzia艂ania na pierwiastkach, warto pami臋ta膰 o kilku w艂asno艣ciach:

Dla a 鈮 0 mamy:

  • \sqrt{a^2} = a
  • (\sqrt{a})^2 = a
  • \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a

Dla dowolnej liczby a mamy:

  • \sqrt[3]{a^3} = a
  • (\sqrt[3]{a})^3 = a
  • \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a

Dzia艂ania na pierwiastkach

W艂asno艣ci pierwiastkowania:

1. Pierwiastek z iloczynu jest r贸wny iloczynowi pierwiastk贸w z tych liczb.

Dla a 鈮 0 i b 鈮 0 mamy: 

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Dla dowolnych liczb a i b mamy:

\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}

2. Pierwiastek z ilorazu jest r贸wny ilorazowi pierwiastk贸w z tych liczb.

Dla a 鈮 0 i b > 0 mamy: 

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Dla dowolnych liczb a i b 鈮 0 mamy:

\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}

Przyk艂ady:

  • \sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 10 = 60
  • \sqrt[3]{-64 000} = \sqrt[3]{-64} \cdot \sqrt[3]{1000} = -4 \cdot 10 = -40
  • \sqrt{\frac{121}{49}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}
  • \sqrt[3]{\frac{216}{512}} = \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{512}} = \frac{6}{8}

Obliczanie warto艣ci pierwiastka

Obliczaj膮c warto艣膰 pierwiastka, mo偶emy skorzysta膰 z rozk艂adu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze.
Poni偶ej prezentujemy spos贸b wykonania takich oblicze艅.

\sqrt{576} = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24

\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} = 2 \cdot 3 = 6

\sqrt[3]{648} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3} = 6\sqrt[3]{3}

Wy艂膮czanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da si臋 obliczy膰 dok艂adnej warto艣ci pierwiastka, gdy偶 wi臋kszo艣膰 pierwiastk贸w to liczby niewymierne. Mo偶emy wtedy wy艂膮czy膰 pewien czynnik przed znak pierwiastka.

Gdy liczb臋 podpierwiastkow膮 mo偶emy zapisa膰 w postaci iloczynu liczby, z kt贸rej da si臋 obliczy膰 pierwiastek oraz liczby, z kt贸rej nie jest to mo偶liwe, w贸wczas mo偶emy wy艂膮czy膰 odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka

Przyk艂ady:

  • \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}
  • \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}

W艂膮czanie czynnika pod znak pierwiastka

Mo偶emy r贸wnie偶 w艂膮czy膰 dany czynnik pod znak pierwiastka.
Poni偶sze przyk艂ady prezentuj膮, jak nale偶y to zrobi膰.

Przyk艂ady:

  • 2\sqrt{3} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}
  • 6\sqrt{3} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108}
  • 5\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{125 \cdot 4} = \sqrt[3]{500}
  • 7\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{343 \cdot 5} = \sqrt[3]{1715}

Webinar

Zobacz webinar powt贸rkowy, podczas kt贸rego przeanalizowane zosta艂y najwa偶niejsze zagadnienia dotycz膮ce pot臋g i pierwiastk贸w.

Zobacz te偶:

Pot臋gi (czytaj)

Utrwal wiedz臋

Poni偶ej znajduj膮 si臋 zadania wraz z odpowiedziami, do rozwi膮zania kt贸rych wykorzystano wiedz臋 zaprezentowan膮 w tym artykule.

Zadanie 1. Zadanie 2.

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl