Skip to content

W artykule

Za pomoc膮 pot臋g mo偶na w prosty spos贸b zapisywa膰 iloczyny takich samych liczb. Na pot臋gach mo偶na te偶 wykonywa膰 dzielenie. Prze膰wicz razem z nami pot臋gowanie na konkretnych przyk艂adach.

Pot臋g臋 liczby a o wyk艂adniku n oznaczamy symbolem a^n, gdzie a to podstawa pot臋gi, n to wyk艂adnik pot臋gi.
Powy偶sza pot臋ga oznacza, 偶e dokonamy n 鈥 krotnego mno偶enie czynnika a.

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{\text{n czynnik贸w}}

Przyk艂ady:

{\text{a)}}\space 3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3
{\text{b)}}\space 2^3=2\cdot 2\cdot 2

Gdy liczb臋 dodatni膮 lub ujemn膮 podnosimy do pot臋gi parzystej, w贸wczas wynikiem b臋dzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy podstaw膮 pot臋gi jest liczba ujemna, a wyk艂adnikiem liczba nieparzysta, to wynik b臋dzie zawsze ujemny.

Przyk艂ady:

{\text{a)}}\space (-3)^6=3^6
{\text{b)}}\space (-6)^5=-6^5
{\text{c)}}\space (-\frac{1}{2})^4=(\frac{1}{2})^4
{\text{d)}}\space (-\frac{1}{7})^3=-(\frac{1}{7})^3

Gdy podnosimy u艂amek zwyk艂y do danej pot臋gi, to wykonujemy oddzielnie pot臋gowanie dla licznika i mianownika. 

Przyk艂ady:

{\text{a)}}\space (\frac{2}{3})^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}
{\text{b)}}\space (\frac{1}{2})^4=\frac{1^4}{2^4}=\frac{1}{16}

Zapami臋taj!
a^0=1 \space dla \space a\not =0
a^1=a

Iloczyn i iloraz pot臋g o tych samych podstawach

Mno偶enie i dzielenie pot臋g o tych samych podstawach jest bardzo proste. Nale偶y zapami臋ta膰 dwie zasady:

1. Mno偶enie 鈥 iloczynem dw贸ch pot臋g o tych samych podstawach jest pot臋ga, kt贸rej podstawa jest taka sama jak podstawy mno偶onych pot臋g, a wyk艂adnik jest sum膮 wyk艂adnik贸w tych pot臋g.

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

2. Dzielenie 鈥 ilorazem dw贸ch pot臋g o tych samych podstawach jest pot臋ga, kt贸rej podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wyk艂adnik jest r贸偶nic膮 wyk艂adnik贸w tych pot臋g.

a^m:a^n=a^{m-n}\space dla \space a\not=0

Przyk艂ad:

{\text{a)}}\space 3^2\cdot3^4=3^{2+4}=3^6
{\text{b)}}\space (-5)^3\cdot(-5)^2=(-5)^{3+2}=(-5)^5
{\text{c)}}\space 7^3:7=7^3:7^1=7^{3-1}=7^2
{\text{d)}}\space 4^8:4^5=4^{8-5}=4^3

Pot臋gowanie pot臋gi

Pot臋guj膮c pot臋g臋 nale偶y pami臋ta膰, 偶e podstawa pozostaje bez zmian, a wyk艂adniki mno偶ymy: 

(a^m)^n=a^{m\cdot n}

Przyk艂ady:

{\text{a)}}\space(2^3)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}
{\text{b)}}\space(9^7)^8=9^{7\cdot 8}=9^{56}

Uwaga:
Je艣li mamy pot臋g臋 postaci a^{m^n}, to w pierwszej kolejno艣ci pot臋gujemy pot臋gi, czyli obliczamy, ile wynosi m^n.

W wyniku otrzymujemy pot臋g臋 o tej samej podstawie (a) i wyk艂adniku b臋d膮cym pot臋g膮 pot臋g.

Przyk艂ady:

5^{(2^3)}=5^8 \ \ bo \ \ 2^3=8
4^{(3^4)}=4^{81} \ \ bo \ \ 3^4=81

Pot臋gowanie iloczynu i ilorazu

Pot臋gowanie iloczynu i ilorazu odbywa si臋 wed艂ug dw贸ch prostych zasad: 

1. Pot臋ga iloczynu jest r贸wna iloczynowi pot臋g.

(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n

2. Pot臋ga ilorazu jest r贸wna ilorazowi pot臋g.

{\text{a)}}\space (a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ dla \ b \ \neq 0
{\text{b)}}\big( \frac{a}{b} \big)^n= \frac{a^n}{b^n} \ \ \ dla \ b \neq 0

Przyk艂ady:

{\text{a)}}\ (3 \cdot 2)^2=3^2 \cdot 2^2
{\text{b)}}\ (5 \cdot 7)^4=5^4 \cdot 7^4
{\text{c)}}\ (9 : 4)^3=9^3 : 4^3
{\text{c)}} \big( \frac{8}{5} \big)^6= \frac{8^6}{5^6}

Pot臋ga o wyk艂adniku ca艂kowitym ujemnym

Aby obliczy膰 pot臋g臋, kt贸rej podstaw膮 jest liczba a 鈮 0, a wyk艂adnik jest liczb膮 ca艂kowit膮 ujemn膮, zamieniamy podstaw臋 pot臋gi na liczb臋 do niej odwrotn膮, a wyk艂adnik pot臋gi na liczb臋 do niego przeciwn膮.

a^{(- n)} = \big( \frac{1}{a} \big)^n = \frac{1^n}{a^n} = \frac{1}{a^n}

Przyk艂ady:

{\text{a)}}\ 7^{-9}= \frac{1}{7^9}
{\text{b)}}\ \big( \frac{1}{2} \big)^{-4} = 2^4
{\text{c)}}\ 2^{-3}= \frac{1}{2^3}

Notacja wyk艂adnicza

Notacja wyk艂adnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby wi臋kszej lub r贸wnej 1 i mniejszej od 10 oraz pot臋gi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wyk艂adniczej:

a \cdot 10^n, \ \ \ gdzie \ \ \ 1 \leq a < 10

n jest liczb膮 ca艂kowit膮.

Przyk艂ady:

{\text{a)}}\ 38 \ 900=3,8900 \cdot 10 \ 000=3,89 \cdot \ 10^4
{\text{b)}}\ 789 \ 423=7,89423 \cdot 100 \ 000=7,89423 \cdot 10^5
{\text{c)}}\ 0,00934= \frac{934}{100 \ 000}= \frac{9,34}{1000}= \frac{9,34}{10^3}= 
= 9,34 \cdot \frac{1}{10^3}= 9,34 \cdot 10^{-3}
{\text{d)}}\ 0,00001257= \frac{1257}{100 \ 000 \ 000} = \frac{1,257}{100 \ 000}= 
= 1,257 \cdot \ \frac{1}{10^5}=1,257 \cdot 10^{-5}


Na podstawie powy偶szych przyk艂ad贸w mo偶na zauwa偶y膰, 偶e:

  • je偶eli przecinek przesuwali艣my w lewo, to wyk艂adnik pot臋gi liczby 10 b臋dzie liczb膮 dodatni膮;
  • je偶eli przecinek przesuwali艣my w prawo, to wyk艂adnik pot臋gi liczby 10 b臋dzie liczb膮 ujemn膮.

Utrwal wiedz臋

Rozwi膮偶 zadania do tego tematu i utrwal wiedz臋. Nast臋pnie sprawd藕 swoje odpowiedzi z rozwi膮zaniami przygotowanymi przez nauczycieli Odrabiamy.pl.

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3.

Webinar

Zobacz webinar powt贸rkowy, podczas kt贸rego przeanalizowane zosta艂y najwa偶niejsze zagadnienia dotycz膮ce pot臋g i pierwiastk贸w.

Zobacz te偶:

Zaokr膮glanie liczb naturalnych (czytaj

Zaokr膮glanie liczb dziesi臋tnych (czytaj

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl