Procenty

Procent (łac. per centum – przez sto) oznacza setną część danej wielkości, czyli jest to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 100. Oznaczany symbolem %. Procenty umożliwiają wyrażenie danej wielkości w stosunku do innej, przy czym pierwsza wielkość może oznaczać część lub zmianę w stosunku do drugiej.

Procenty i promile

Warto zapamiętać:

{\text{a)}}\space 100\%=1

{\text{b)}}\space 75\%=\frac{3}{4}

{\text{c)}}\space 50\%=\frac{1}{2}

{\text{d)}}\space 25\%=\frac{1}{4}

{\text{e)}}\space 20\%=\frac{1}{5}

{\text{f)}}\space 10\%=\frac{1}{10}

{\text{g)}}\space 150\%=1\frac{1}{2}

Zapamiętaj!
W praktyce procent nigdy nie występuje samodzielnie. Jest on zawsze ułamkiem pewnej konkretnej wielkości.

Promil (symbol ‰) oznacza tysięczną część danej wielkości, czyli promil to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 1000.

Przykłady:

{\text{a)}}\space 1‰ =\frac{1}{100}

{\text{b)}}\space2,5‰ =\frac{2,5}{1000}=\frac{25}{10\space000}

{\text{c)}}\space 36‰ =\frac{36}{1000}

Uwaga!

Zauważmy, że 1‰=\frac{1}{1000}, a 1‰=\frac{1}{100}.

Oznacza to, że 1‰ to 10 razy mniej niż 1\%.

Zamiana procentu na ułamek

Zamiana procentu na ułamek polega na podzieleniu procentu przez 100 i usunięciu znaku %. Procenty możemy przedstawiać zarówno w postaci ułamków zwykłych, jak i dziesiętnych.

Przykłady:

{\text{a)}}\space 1\% =\frac{1}{100}=0,01

{\text{b)}}\space 13\% =\frac{13}{100}=0,13

{\text{c)}}\space 86,3\% =\frac{86,3}{100}=\frac{863}{1000}0,863

Zamiana liczby na procent

Aby zamienić liczbę na procent, należy pomnożyć ją razy 100%.

Przykłady:

{\text{a)}}\space 1=1\cdot100\% =100\%

{\text{b)}}\space 3=3\cdot100\% =300\%

{\text{c)}}\space 0,3=0,3\cdot100\% =30\%

{\text{d)}}\space \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cdot100\% =25\%

{\text{e)}}\space 1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}=\dfrac{6}{\cancel{5}_{1}}\cdot\cancel{100}^{20}\%=6\cdot20\%=120\%

Obliczanie procentu danej liczby

Aby dowiedzieć się, jaka liczba jest pewnym procentem danej liczby, wystarczy zamienić procent na ułamek i pomnożyć go razy tę daną liczbę.

Przykłady:

• Ile to jest 43% liczby 300?

43\%\cdot300=\frac{43}{\cancel{100}_{1}}\cdot\cancel{300}^{3}=43\cdot3=129

• Ile to jest 18% liczby 150?

18\%\cdot150=\frac{18}{\cancel{100}_{2}}\cdot\cancel{150}^{3}=\frac{18}{2}\cdot3=9\cdot3=27

Jaki to procent?

Aby dowiedzieć się, jakim procentem jednej z liczb jest druga liczba, wystarczy przedstawić te liczby w postaci ułamka zwykłego, a następnie pomnożyć razy 100%.

Należy pamiętać, że w mianowniku musi znaleźć się ta liczba, do której porównujemy daną liczbę.

Przykłady:

• Jakim procentem liczby 264 jest liczba 165?
  Liczbę 165 porównujemy z liczbą 264, więc liczba 264 musi znaleźć się w mianowniku.

\frac{165}{264}\cdot100\%=\frac{55}{88}\cdot100\%=\frac{5}{\cancel{8}_{2}}\cdot{\cancel{100}^{25}}\%=

=\frac{5}{2}\cdot25\%=\frac{125}{2}\%=62,5\%

• Jakim procentem liczby 150 jest liczba 30?
  Liczbę 30 porównujemy z liczbą 150, więc liczba 150 musi znaleźć się w mianowniku.

\frac{30}{150}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Gdy wiemy, że pewna liczba jest danym procentem drugiej liczby, łatwo możemy znaleźć tę drugą liczbę.

Przykład 1.:
70% pewnej liczby to 140.
10% tej liczby to 20 (10% to 7 razy mniej niż 70%, czyli wynosi 7 razy mniej niż 140).
100% tej liczby to 200 (100% to 10 razy więcej niż 10%, czyli wynosi 10 razy więcej niż 20).
Szukana liczba to 200.

Przykład 2.:
40% pewnej liczby to 70. Jaka to liczba?
4% tej liczby to 7 (4% to 10 razy mniej niż 40%, czyli wynosi 10 razy mniej niż 70).
100% tej liczby to 175 (100% to 25 razy więcej niż 4%, czyli wynosi 25 razy więcej niż 7).
Szukana liczba to 175.  

O ile procent dana liczba jest większa lub mniejsza od drugiej liczby

Procent, o jaki jedna cena jest większa/mniejsza od drugiej to ułamek, w którym licznik jest różnicą cen tych produktów, a mianownik ceną tego produktu, do którego porównujemy daną cenę, pomnożony razy 100%.

Przykład:
Telefon kosztuje 100 zł, a piłka 80 zł. O ile procent więcej kosztuje telefon? O ile procent mniej kosztuje piłka?

{\text{a)}}\space\frac{100-80}{80}\cdot100\%=\frac{20}{80}\cdot100\%=\frac{1}{4}\cdot100\%=25\%

Telefon jest o 25% droższy od piłki.

{\text{a)}}\space\frac{100-80}{100}\cdot100\%=\frac{20}{100}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%

Piłka jest o 20% tańsza od telefonu.

Podwyżki i obniżki

Podwyżki i obniżki to najczęściej słyszane zwroty głównie w centrach handlowych. Na co dzień możemy dostrzec np. reklamy informujące nas, że jest obniżka (lub podwyżka) o 10% na dany produkt. Jak mamy to rozumieć?

PODWYŻKI

Gdy mówimy, że występuje podwyżka ceny pewnego produktu o 20%, to wówczas kosztuje on 120% (100% + 20%) swojej początkowej ceny.

Aby obliczyć jego aktualną cenę, wystarczy pomnożyć cenę początkową razy 120%.

Przykład:
Piłka kosztowała 80 zł. Nastąpiła podwyżka jej ceny o 20%. Ile teraz kosztuje piłka?

Podwyżka o 20% spowodowała, że piłka kosztuje teraz 120% (100% + 20%) swojej początkowej ceny.

120\%\cdot80=\frac{120}{100}\cdot80=\frac{12}{\cancel{10}_{1}}\cdot{\cancel{80}^{8}}=12 \cdot8=96

Po podwyżce piłka kosztuje 96 zł. 

OBNIŻKI

Gdy mówimy, że jest obniżka ceny pewnego produktu o 20%, to wówczas kosztuje on 80% (100% – 20%) swojej początkowej ceny.

Aby obliczyć jego aktualną cenę wystarczy pomnożyć cenę początkową razy 80%.

Przykład:
Telefon kosztował 210 zł. Nastąpiła obniżka jego ceny o 10%. Ile teraz kosztuje telefon?

Obniżka o 10% spowodowała, że telefon kosztuje teraz 90% (100% – 10%) swojej początkowej ceny.

90\%\cdot210=\frac{90}{100}\cdot210=\frac{9}{\cancel{10}_{1}}\cdot{\cancel{210}^{21}}=9 \cdot21=189

Po obniżce telefon kosztuje 189 zł. 

Webinar

Zobacz webinar powtórkowy, podczas którego przeanalizowane zostały najważniejsze zagadnienia dotyczące obliczeń procentowych.