Potęgi

Za pomocą potęg można w prosty sposób zapisywać iloczyny takich samych liczb. Na potęgach można też wykonywać dzielenie. Przećwicz razem z nami potęgowanie na konkretnych przykładach.

Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem a^n, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.
Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n – krotnego mnożenie czynnika a.

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{\text{n czynników}}

Przykłady:

{\text{a)}}\space 3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3

{\text{b)}}\space 2^3=2\cdot 2\cdot 2

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy podstawą potęgi jest liczba ujemna, a wykładnikiem liczba nieparzysta, to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

{\text{a)}}\space (-3)^6=3^6

{\text{b)}}\space (-6)^5=-6^5

{\text{c)}}\space (-\frac{1}{2})^4=(\frac{1}{2})^4

{\text{d)}}\space (-\frac{1}{7})^3=-(\frac{1}{7})^3

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady:

{\text{a)}}\space (\frac{2}{3})^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}

{\text{b)}}\space (\frac{1}{2})^4=\frac{1^4}{2^4}=\frac{1}{16}

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie zasady:

1. Mnożenie – iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

2. Dzielenie – ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

a^m:a^n=a^{m-n}\space dla \space a\not=0

Przykład:

{\text{a)}}\space 3^2\cdot3^4=3^{2+4}=3^6

{\text{b)}}\space (-5)^3\cdot(-5)^2=(-5)^{3+2}=(-5)^5

{\text{c)}}\space 7^3:7=7^3:7^1=7^{3-1}=7^2

{\text{d)}}\space 4^8:4^5=4^{8-5}=4^3

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy: 

(a^m)^n=a^{m\cdot n}

Przykłady:

{\text{a)}}\space(2^3)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}

{\text{b)}}\space(9^7)^8=9^{7\cdot 8}=9^{56}

Uwaga:
Jeśli mamy potęgę postaci a^{m^n}, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy, ile wynosi m^n.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (a) i wykładniku będącym potęgą potęg.

Przykłady:

5^{(2^3)}=5^8 \ \ bo \ \ 2^3=8

4^{(3^4)}=4^{81} \ \ bo \ \ 3^4=81

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg.

(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n

2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg.

{\text{a)}}\space (a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ dla \ b \ \neq 0

{\text{b)}}\big( \frac{a}{b} \big)^n= \frac{a^n}{b^n} \ \ \ dla \ b \neq 0

Przykłady:

{\text{a)}}\ (3 \cdot 2)^2=3^2 \cdot 2^2

{\text{b)}}\ (5 \cdot 7)^4=5^4 \cdot 7^4

{\text{c)}}\ (9 : 4)^3=9^3 : 4^3

{\text{c)}} \big( \frac{8}{5} \big)^6= \frac{8^6}{5^6}

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba a ≠ 0, a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną, zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną, a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną.

a^{(- n)} = \big( \frac{1}{a} \big)^n = \frac{1^n}{a^n} = \frac{1}{a^n}

Przykłady:

{\text{a)}}\ 7^{-9}= \frac{1}{7^9}

{\text{b)}}\ \big( \frac{1}{2} \big)^{-4} = 2^4

{\text{c)}}\ 2^{-3}= \frac{1}{2^3}

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

a \cdot 10^n, \ \ \ gdzie \ \ \ 1 \leq a < 10

n jest liczbą całkowitą.

Przykłady:

{\text{a)}}\ 38 \ 900=3,8900 \cdot 10 \ 000=3,89 \cdot \ 10^4

{\text{b)}}\ 789 \ 423=7,89423 \cdot 100 \ 000=7,89423 \cdot 10^5

{\text{c)}}\ 0,00934= \frac{934}{100 \ 000}= \frac{9,34}{1000}= \frac{9,34}{10^3}= 

= 9,34 \cdot \frac{1}{10^3}= 9,34 \cdot 10^{-3}

{\text{d)}}\ 0,00001257= \frac{1257}{100 \ 000 \ 000} = \frac{1,257}{100 \ 000}= 

= 1,257 \cdot \ \frac{1}{10^5}=1,257 \cdot 10^{-5}

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

• jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
• jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Webinar

Zobacz webinar powtórkowy, podczas którego przeanalizowane zostały najważniejsze zagadnienia dotyczące potęg i pierwiastków.

Zobacz też:

Zaokrąglanie liczb naturalnych (czytaj

Zaokrąglanie liczb dziesiętnych (czytaj