Matematyczne metody fizyki: wektor

Zanim zapoznamy się z takimi pojęciami jak prędkość, przyspieszenie i siła, musimy postawić sobie wcześniej pytanie: czym jest wektor? Niestety podstawa programowa nie przewiduje wprowadzenia tego pojęcia w szkole podstawowej. Spotkamy się z nim dopiero na matematyce w liceum lub technikum. Również podręczniki do fizyki dla szkół podstawowych są dość ubogo zaopatrzone w tę wiedzę.

W jaki sposób poradzić sobie z pojęciem wektora na lekcjach fizyki

Nie ma niestety innego wyjścia, jak zapoznać się z nim, zanim zaczniemy rozważać problemy kinematyczno-dynamiczne. 

W fizyce rozróżniamy trzy rodzaje wielkości: wektorowe, skalarne i bezwymiarowe. Wielkości skalarne to na przykład masa, gęstość, droga, czas, temperatura. Przykładem wielkości bezwymiarowej są współczynniki tarcia. Natomiast wielkość wektora jest bardziej złożonym obiektem, który posiada więcej cech niż tylko wielkość liczbowa.

Słowo „wektor” pochodzi z łaciny od słowa vector, czyli ‘niosący; ten który niesie; nośnik’. Z matematycznego punktu widzenia definiujemy go w następujący sposób:

Powyższe sformułowanie może wydawać się skomplikowana dla ucznia szkoły podstawowej. Dlatego lepszym sposobem jest uproszczenie tego pojęcia i wyobrażenie sobie wektora jako odcinka, który zaczyna się w pewnym punkcie, a zakończony jest grotem strzałki. Odcinek taki nazywamy odcinkiem skierowanym. Warto zwrócić uwagę, że wektor jest obiektem matematycznym, który opisujemy przy pomocy czterech cech: punktu przyłożenia, kierunku, zwrotu i wartości. 

Wielkości te możemy przedstawić na grafice:

Ryc. 1. Wektor – punkt przyłożenia, kierunek, zwrot i wartość

Cechy wektora

Scharakteryzujemy po kolei każdą z nich:

1) punkt przyłożenia, czyli punkt początkowy wektora najczęściej zaczepiony w pewnym punkcie ciała.

Na przykład w przypadku wektora siły ciężkości punkt zaczepienia znajduje się w środku ciężkości takiego ciała.

2) kierunek, czyli prosta, na której leży wektor.

Przykład: siła ciężkości ma kierunek pionowy. Kierunki mogą być określane jako pionowe, poziome, ukośne.

3) zwrot, czyli strona, w którą zwrócony jest wektor na prostej kierunkowej.

Przykład: siła ciężkości ma zwrot w dół.
Zwroty możemy określać w następujący sposób: góra/dół, prawo/lewo lub przy pomocy kierunków geograficznych: południowy wschód.

4) wartość, czyli wielkość opisująca wymiar wektora. 

Wartość wektora przez matematyków często nazywana jest po prostu z wektorem. Dla fizyka jednak jest to znaczna różnica. Wartość wektora odpowiada jego długości, czyli jest zawsze dodatnia oraz wyrażona w odpowiednich jednostkach. Natomiast wektor może mieć ujemne współrzędne, które mówią nam o jego zwrocie względem wybranego układu odniesienia.

Wektor siły i prędkości

Wektory poznajemy, gdy zaczynamy omawiać zagadnienie siły. Dlatego na ich podstawie omówmy sobie pewien przykład. Wyobraźmy sobie sytuację, że mamy  położone na stole ciało, które pchamy w różne strony z różnymi siłami. Blat stołu będzie wówczas płaszczyzną, po której porusza się to ciało, a punkt przyłożenia wektorów siły do tego ciała znajduje się w jego środku.  Sytuacja ta przedstawia się graficznie w następujący sposób:

Zauważmy, że możemy w takim przypadku konkretnie podać wszystkie cechy wektorów siły. Jeżeli rozważymy wektor F_1 to zauważymy, że leży on na prostej poziomej, a jego zwrot jest w prawo (na wschód). Z rysunku wynika, że dwie kratki odpowiadają wielkości równej 1 N (jeden niuton). Zatem wartość wektora F_2 (jego długość) wynosi 2,5 N. Natomiast w przypadku wektora F_2 mamy kierunek pionowy, zwrot do góry (na północ) oraz wartość 2 N. Wartości tych wektorów zapisujemy w następujący sposób: F_1 = 2,5 N oraz F_2 = 2 N.

Pochylmy się nad jeszcze jednym przykładem, który powinien nam dokładniej zobrazować pojęcie wektora. Zacznijmy od tego, że prędkość jest wektorem. Wyobraźmy sobie, że mamy dwa samochody poruszające się w różnych kierunkach z prędkościami o takich samych wartościach, na przykład v = 20 \frac{m}{s}. Wówczas na rysunku przedstawione wektory prędkości będą miały takie same długości:

Wartości tych wektorów będą wynosiły:

|\vec{v_1}| = v_1 = v = 20 \frac{m}{s}

|\vec{v_2}| = v_1 = v = 20 \frac{m}{s}

Zauważmy zatem, że możemy zapisać równość pomiędzy wartościami wektorów:

v_1 = v_2

Natomiast same wektory nie są sobie równe, czyli nie możemy zapisać równości pomiędzy wektorami:

\vec{v_1} \not = \vec{v_1}

Przykład ten pokazuje nam wyraźną różnicę pomiędzy wektorem a jego wartością.

Materiały źródłowe