Skip to content

Matematyczne metody fizyki: wektor

W artykule

Zanim zapoznamy si臋 z takimi poj臋ciami jak pr臋dko艣膰, przyspieszenie i si艂a, musimy postawi膰 sobie wcze艣niej pytanie: czym jest wektor? Niestety podstawa programowa nie przewiduje wprowadzenia tego poj臋cia w szkole podstawowej. Spotkamy si臋 z nim dopiero na matematyce w liceum lub technikum. R贸wnie偶 podr臋czniki do fizyki dla szk贸艂 podstawowych s膮 do艣膰 ubogo zaopatrzone w t臋 wiedz臋.

W jaki spos贸b poradzi膰 sobie z poj臋ciem wektora na lekcjach fizyki

Nie ma niestety innego wyj艣cia, jak zapozna膰 si臋 z nim, zanim zaczniemy rozwa偶a膰 problemy kinematyczno-dynamiczne. 

W fizyce rozr贸偶niamy trzy rodzaje wielko艣ci: wektorowe, skalarne i bezwymiarowe. Wielko艣ci skalarne to na przyk艂ad masa, g臋sto艣膰, droga, czas, temperatura. Przyk艂adem wielko艣ci bezwymiarowej s膮 wsp贸艂czynniki tarcia. Natomiast wielko艣膰 wektora jest bardziej z艂o偶onym obiektem, kt贸ry posiada wi臋cej cech ni偶 tylko wielko艣膰 liczbowa.

S艂owo 鈥瀢ektor鈥 pochodzi z 艂aciny od s艂owa vector, czyli 鈥榥ios膮cy; ten kt贸ry niesie; no艣nik鈥. Z matematycznego punktu widzenia definiujemy go w nast臋puj膮cy spos贸b:

Wektorem nazywamy uporz膮dkowan膮 par臋 punkt贸w. Pierwszy z tych punkt贸w nazywamy pocz膮tkiem wektora (punktem zaczepienia), a drugi 鈥 ko艅cem wektora.聽

Powy偶sze sformu艂owanie mo偶e wydawa膰 si臋 skomplikowana dla ucznia szko艂y podstawowej. Dlatego lepszym sposobem jest uproszczenie tego poj臋cia i wyobra偶enie sobie wektora jako odcinka, kt贸ry zaczyna si臋 w pewnym punkcie, a zako艅czony jest grotem strza艂ki. Odcinek taki nazywamy odcinkiem skierowanym. Warto zwr贸ci膰 uwag臋, 偶e wektor jest obiektem matematycznym, kt贸ry opisujemy przy pomocy czterech cech: punktu przy艂o偶enia, kierunku, zwrotu i warto艣ci. 

Wielko艣ci te mo偶emy przedstawi膰 na grafice:

Ryc. 1. Wektor 鈥 punkt przy艂o偶enia, kierunek, zwrot i warto艣膰

Cechy wektora

Scharakteryzujemy po kolei ka偶d膮 z nich:

1) punkt przy艂o偶enia, czyli punkt pocz膮tkowy wektora najcz臋艣ciej zaczepiony w pewnym punkcie cia艂a.

Na przyk艂ad w przypadku wektora si艂y ci臋偶ko艣ci punkt zaczepienia znajduje si臋 w 艣rodku ci臋偶ko艣ci takiego cia艂a.

2) kierunek, czyli prosta, na kt贸rej le偶y wektor.

Przyk艂ad: si艂a ci臋偶ko艣ci ma kierunek pionowy. Kierunki mog膮 by膰 okre艣lane jako pionowe, poziome, uko艣ne.

3) zwrot, czyli strona, w kt贸r膮 zwr贸cony jest wektor na prostej kierunkowej.

Przyk艂ad: si艂a ci臋偶ko艣ci ma zwrot w d贸艂.
Zwroty mo偶emy okre艣la膰 w nast臋puj膮cy spos贸b: g贸ra/d贸艂, prawo/lewo lub przy pomocy kierunk贸w geograficznych: po艂udniowy wsch贸d.

4) warto艣膰, czyli wielko艣膰 opisuj膮ca wymiar wektora.聽

Warto艣膰 wektora przez matematyk贸w cz臋sto nazywana jest po prostu z wektorem. Dla fizyka jednak jest to znaczna r贸偶nica. Warto艣膰 wektora odpowiada jego d艂ugo艣ci, czyli jest zawsze dodatnia oraz wyra偶ona w odpowiednich jednostkach. Natomiast wektor mo偶e mie膰 ujemne wsp贸艂rz臋dne, kt贸re m贸wi膮 nam o jego zwrocie wzgl臋dem wybranego uk艂adu odniesienia.

Wektor si艂y i pr臋dko艣ci

Wektory poznajemy, gdy zaczynamy omawia膰 zagadnienie si艂y. Dlatego na ich podstawie om贸wmy sobie pewien przyk艂ad. Wyobra藕my sobie sytuacj臋, 偶e mamy聽 po艂o偶one na stole cia艂o, kt贸re pchamy w r贸偶ne strony z r贸偶nymi si艂ami. Blat sto艂u b臋dzie w贸wczas p艂aszczyzn膮, po kt贸rej porusza si臋 to cia艂o, a punkt przy艂o偶enia wektor贸w si艂y do tego cia艂a znajduje si臋 w jego 艣rodku.聽 Sytuacja ta przedstawia si臋 graficznie w nast臋puj膮cy spos贸b:

Zauwa偶my, 偶e mo偶emy w takim przypadku konkretnie poda膰 wszystkie cechy wektor贸w si艂y. Je偶eli rozwa偶ymy wektor F_1 to zauwa偶ymy, 偶e le偶y on na prostej poziomej, a jego zwrot jest w prawo (na wsch贸d). Z rysunku wynika, 偶e dwie kratki odpowiadaj膮 wielko艣ci r贸wnej 1 N (jeden niuton). Zatem warto艣膰 wektora F_2 (jego d艂ugo艣膰) wynosi 2,5 N. Natomiast w przypadku wektora F_2 mamy kierunek pionowy, zwrot do g贸ry (na p贸艂noc) oraz warto艣膰 2 N. Warto艣ci tych wektor贸w zapisujemy w nast臋puj膮cy spos贸b: F_1 = 2,5 N oraz F_2 = 2 N.

Pochylmy si臋 nad jeszcze jednym przyk艂adem, kt贸ry powinien nam dok艂adniej zobrazowa膰 poj臋cie wektora. Zacznijmy od tego, 偶e pr臋dko艣膰 jest wektorem. Wyobra藕my sobie, 偶e mamy dwa samochody poruszaj膮ce si臋 w r贸偶nych kierunkach z pr臋dko艣ciami o takich samych warto艣ciach, na przyk艂ad v = 20 \frac{m}{s}. W贸wczas na rysunku przedstawione wektory pr臋dko艣ci b臋d膮 mia艂y takie same d艂ugo艣ci:

Warto艣ci tych wektor贸w b臋d膮 wynosi艂y:

|\vec{v_1}| = v_1 = v = 20 \frac{m}{s}

|\vec{v_2}| = v_1 = v = 20 \frac{m}{s}

Zauwa偶my zatem, 偶e mo偶emy zapisa膰 r贸wno艣膰 pomi臋dzy warto艣ciami wektor贸w:

v_1 = v_2

Natomiast same wektory nie s膮 sobie r贸wne, czyli nie mo偶emy zapisa膰 r贸wno艣ci pomi臋dzy wektorami:

\vec{v_1} \not = \vec{v_1}

Przyk艂ad ten pokazuje nam wyra藕n膮 r贸偶nic臋 pomi臋dzy wektorem a jego warto艣ci膮.

Utrwal wiedz臋

Rozwi膮偶 zadania do tego tematu i utrwal wiedz臋. Nast臋pnie sprawd藕 swoje odpowiedzi z rozwi膮zaniami przygotowanymi przez nauczycieli Odrabiamy.pl.

Zadanie 1. Zadanie 2.

Materia艂y 藕r贸d艂owe

Informacje

[1] Fia艂kowska M., Sagnowska B., Salach J.: Z fizyk膮 w przysz艂o艣膰, podr臋cznik dla szk贸艂 ponadgimnazjalnych, zakres rozszerzony, cz臋艣膰 1. WSiP.
[2] Kurczab M., Kurczab E., 艢wida E.: Matematyka 1. Podr臋cznik dla lice贸w i technik贸w. Oficyna edukacyjna Krzysztof Pazdro.
[3] Sagnowska B., Rozenbajgier M., Rozenbajgier R., Szot-Gawlik D., Godlewska M.: Fizyka, 艢wiat fizyki 7, podr臋cznik. WSiP.

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl