Skip to content

Kilka s艂贸w o pracy i energii mechanicznej

W artykule

W 偶yciu codziennym praktycznie ka偶dego dnia m贸wi si臋 o wykonywaniu pracy, czy to zarobkowej, czy w domu. Podobnie jest z energi膮. Cz臋sto m贸wimy, 偶e mamy bardzo du偶o energii, aby zabra膰 si臋 do pracy. Zastan贸wmy si臋 nad tymi poj臋ciami w kontek艣cie fizyki.

Praca mechaniczna

Znaczna cz臋艣膰 naszego 偶ycia kr臋ci si臋 wok贸艂 pracy. Niezale偶nie od tego, czy jest to praca zawodowa, czy wykonywana w ramach zada艅 szkolnych, przewa偶nie stawia przed nami wyzwania, kt贸rym staramy si臋 podo艂a膰. Jednak termin 鈥瀙raca鈥 jest r贸wnie偶 bardzo mocno zwi膮zany z fizyk膮. To jedno z najwa偶niejszych poj臋膰 (zaraz obok si艂y), kt贸rego rozwa偶ania prowadz膮 do poznania podstaw zasad dzia艂ania i budowy wszech艣wiata. Na lekcjach fizyki b臋dziemy si臋 uczy膰 o pracy mechanicznej, termodynamicznej, obj臋to艣ciowej oraz pr膮du elektrycznego. Teraz skupmy si臋 na tym pierwszym rodzaju pracy, a mianowicie na pracy mechanicznej, czyli 艣ci艣le zwi膮zanej z ruchem cia艂a oraz si艂ami dzia艂aj膮cymi na to cia艂o.

M贸wimy, 偶e praca mechaniczna jest wykonywana, gdy na cia艂o dzia艂a si艂a, w wyniku czego cia艂o to ulega przemieszczeniu lub odkszta艂ceniu. Prac臋 w fizyce oznaczamy liter膮 W od angielskiego s艂owa work, czyli po prostu 鈥瀙raca鈥.

Praca mechaniczna jest wykonywana, gdy na cia艂o dzia艂a si艂a, a ono porusza si臋 w kierunku innym ni偶 kierunek prostopad艂y do kierunku dzia艂ania si艂y. Prac臋 mechaniczn膮 mo偶emy obliczy膰 za pomoc膮 wzoru:

W=F \cdot s

gdzie F jest warto艣ci膮 si艂y dzia艂aj膮cej na cia艂o, kt贸re w czasie ruchu przebywa drog臋 r贸wn膮 s, a kierunek wektora si艂y jest r贸wnoleg艂y do kierunku wektora przemieszczenia.

Istotne jest tutaj r贸wnie偶 poj臋cie kierunku ruchu oraz zwi膮zane z nim przemieszczenie, czyli wektor 艂膮cz膮cy po艂o偶enie pocz膮tkowe i ko艅cowe cia艂a. W zale偶no艣ci od tego czy si艂a dzia艂a zgodnie z kierunkiem ruchu cia艂a, czy przeciwnie do niego, mo偶emy przyj膮膰, 偶e w贸wczas praca wykonana przez t膮 si艂臋 wynosi:

W=-F \cdot s

Taki przypadek mamy, gdy prac臋 wykonuj膮 na przyk艂ad si艂y tarcia kinetycznego. Praca jest wielko艣ci膮 skalarn膮 i nie mo偶e by膰 ujemna. Znak minus jest umowny 鈥 informuje nas, 偶e w tym przypadku zwroty wektora si艂y oraz przemieszczenia s膮 przeciwne.

Jak wspomniano powy偶ej, kierunek dzia艂ania si艂y nie mo偶e by膰 prostopad艂y do kierunku wektora przemieszczenia. Wydaje si臋 to by膰 ca艂kiem naturalne, poniewa偶 w贸wczas nie ma si艂y, kt贸ra powodowa艂aby przesuni臋cie tego cia艂a. W takim przypadku praca mechaniczna nie jest wykonywana i piszemy, 偶e ma zerow膮 warto艣膰:

W=0

Mo偶emy powy偶sze przypadki uj膮膰 na nast臋puj膮cym schemacie.

Ryc. 1.1. Na klocek dzia艂a si艂a zwr贸cona zgodnie z kierunkiem ruchu

Ryc. 1.2. Na klocek dzia艂a si艂a hamuj膮ca, zwr贸cona przeciwnie do kierunku ruchu

Ryc. 1.3. Na klocek dzia艂a si艂a prostopad艂a do kierunku ruchu

Wiedza dodatkowa!

Co, je偶eli kierunek dzia艂ania si艂y nie jest ani r贸wnoleg艂y, ani prostopad艂y do wektora przemieszczenia?
Og贸lnie prac臋 wykonan膮 przez poruszaj膮ce si臋 cia艂o przedstawiamy zale偶no艣ci膮:

W=\vec{F} \cdot \vec{r}

gdzie:

W - praca wykonana przez poruszaj膮ce si臋 cia艂o,

\vec{F} - si艂a dzia艂aj膮ca na cia艂o, dzi臋ki kt贸rej praca zosta艂a wykonana,

\vec{r} - wektor przemieszczenia si臋 cia艂a.

Mamy tutaj do czynienia z iloczynem skalarnym wektor贸w (oznaczanym przez: 嗟), czyli bierzemy pod uwag臋 kosinus k膮ta pomi臋dzy wektorem si艂y a wektorem przesuni臋cia.

Oznacza to, 偶e powy偶szy wz贸r mo偶emy r贸wnie偶 zapisa膰 w formie:

W = F r cos(\angle(\vec{F}, \vec{r}))

gdzie:

F- warto艣膰 si艂y dzia艂aj膮cej na cia艂o,

r- warto艣膰 wektora przemieszczenia,

\angle(\vec{F}, \vec{r})- k膮t pomi臋dzy wektorem si艂y i przemieszczenia.

Zauwa偶my, 偶e gdy praca mechaniczna jest wykonywana, to w ka偶dym przypadku mo偶emy wyrazi膰 j膮 jako iloczyn warto艣ci si艂y i przemieszczenia. Oznacza to, 偶e jednostk臋 wykonanej pracy mo偶emy okre艣li膰 przez jednostk臋 si艂y i drogi:

[W]=[F]\cdot[s]=1N\cdot 1m

Jednostk膮 pracy mechanicznej jest d偶ul, kt贸ry oznaczamy liter膮 J. Nazwa ta pochodzi od nazwiska brytyjskiego fizyka Jamesa Prescotta Joule鈥檃, kt贸ry prowadzi艂 badania zwi膮zane z przemianami energii mechanicznej. Mo偶emy zapisa膰, 偶e d偶ul wyra偶ony przy pomocy podstawowych jednostek SI ma posta膰:

1 J = 1 N \cdot m = 1 kg \cdot \frac{m}{s^2} \cdot m = 1 kg \cdot \frac{m^2}{s^2} 

Energia mechaniczna 鈥 rodzaje

Rozmawiaj膮c z innymi, cz臋sto u偶ywamy zwrot贸w: 鈥濧le mam dzisiaj du偶o energii!鈥, 鈥濺ozpiera mnie energia鈥, czy 鈥濿yczerpa艂em wszystkie pok艂ady energii鈥. Okazuje si臋, 偶e 艣wietnie opisuj膮 one energi臋 jako poj臋cie fizyczne.

Zastan贸wmy si臋, czym jest energia w znaczeniu badawczym!

Zgodnie z definicj膮, energia jest to wielko艣膰 fizyczna, kt贸ra charakteryzuje stan uk艂adu. Oznaczamy j膮 liter膮 E od angielskiego s艂owa energy, czyli 鈥瀍nergia鈥. Cz臋sto r贸wnie偶 okre艣la si臋 tym poj臋ciem si艂y witalne organizmu, co jest r贸wnie偶 zwi膮zane z energi膮 fizyczn膮, gdy偶 ich pochodzenie wynika z pewnych przemian energii. Rozr贸偶niamy wiele form energii, takich jak na przyk艂ad energia chemiczna, j膮drowa, elektryczna czy magnetyczna. Teraz jednak skupimy si臋 na jej szczeg贸lnym rodzaju, a mianowicie na energii mechanicznej.

Praca wykonana w uk艂adzie zamienia energi臋 mechaniczn膮 uk艂adu. Oznacza to, 偶e je偶eli w uk艂adzie fizycznym zosta艂a wykonana pewna praca, to zmieni艂 si臋 stan tego uk艂adu, a zatem i jego energia:

\Delta E=W

gdzie:

\Delta E- zmiana energii

W- praca wykonana w uk艂adzie.

W powy偶szej zale偶no艣ci grecka du偶a litera 螖 (delta) m贸wi nam o tym, 偶e mamy do czynienia ze zmian膮, czyli r贸偶nic膮 pomi臋dzy stanem ko艅cowym a pocz膮tkowym uk艂adu:

\Delta E=E{_{ko艅cowa}}-E{_{pocz膮tkowa}}

Skoro jednostk膮 pracy jest d偶ul, to jednostk膮 zmiany energii r贸wnie偶 jest d偶ul. Poniewa偶 zmiana energii odpowiada r贸偶nicy pomi臋dzy energi膮 ko艅cow膮 a pocz膮tkow膮, to ka偶da z tych energii musi by膰 r贸wnie偶 wyra偶ona za pomoc膮 d偶uli. Oznacza to, 偶e energi臋, podobnie jak prac臋, b臋dzie wyra偶a膰 za pomoc膮 d偶uli.

Rozr贸偶niamy dwa rodzaje energii mechanicznej: energi臋 potencjaln膮, wynikaj膮c膮 z po艂o偶enia lub odkszta艂cenia cia艂a oraz energi臋 kinetyczn膮, zwi膮zan膮 z ruchem cia艂a.

Energia potencjalna ci臋偶ko艣ci

Na ka偶de cia艂o na Ziemi dzia艂a si艂a ci臋偶ko艣ci. Dla niezbyt du偶ych wysoko艣ci nad powierzchni膮 Ziemi przyspieszenie grawitacyjne nie zmienia si臋. Oznacza to, 偶e je偶eli chcemy podnie艣膰 pewne cia艂o na dowoln膮 wysoko艣膰 h, to musimy wykona膰 prac臋, kt贸ra b臋dzie przeciwdzia艂a膰 sile ci臋偶ko艣ci tego cia艂a. Zauwa偶my, 偶e si艂a, z jak膮 musimy dzia艂a膰 na to cia艂o, powinna r贸wnowa偶y膰 ci臋偶ar tego cia艂a, czyli b臋dzie mia艂a ona przeciwny zwrot do si艂y ci臋偶ko艣ci, ale tak膮 sam膮 warto艣膰 jak ta si艂a. W贸wczas wykonamy prac臋 r贸wn膮:

W=F_c\cdot h

gdzie:

W- praca wykonana przez nas,

F_c=m\cdot g- warto艣膰 ci臋偶aru cia艂a, gdzie m jest mas膮, g jest warto艣ci膮 przyspieszenia ziemskiego,

h- wysoko艣膰, na jak膮 wznios艂o si臋 cia艂o (droga przebyta przez cia艂o w czasie podnoszenia).

Zmiana po艂o偶enia cia艂a wzgl臋dem pewnego po艂o偶enia pocz膮tkowego powoduje zmian臋 energii potencjalnej tego cia艂a. Ponadto zmiana energii potencjalnej cia艂a jest r贸wna pracy wykonanej przez nas:

\Delta E_p=W

Energi臋 potencjaln膮 wyznaczamy zawsze wzgl臋dem pewnego po艂o偶enia zerowego (np. powierzchni Ziemi). Je偶eli w naszym przypadku pocz膮tkowo cia艂o by艂o na Ziemi, to przyjmujemy, 偶e jest to nasz poziom zerowy i w tym punkcie pocz膮tkowa energia potencjalna zawsze przyjmie zerow膮 warto艣膰:

E{_{p.pocz膮tkowa}}=0

Potencjalna energia ko艅cowa po wzniesieniu si臋 cia艂a na podan膮 wysoko艣膰 b臋dzie odpowiada艂a energii potencjalnej tego cia艂a dok艂adnie w tym punkcie:

E{_{p.ko艅cowa}}=E_p

Oznacza to, 偶e w og贸lnym przypadku energi臋 potencjaln膮 cia艂a E_p鈥 na dowolnej wysoko艣ci h mo偶emy oblicza膰 za pomoc膮 wzoru wynikaj膮cego z nast臋puj膮cego wyprowadzenia:

\Delta E_p=W
E{_{p.ko艅cowa}}-E{_{p.pocz膮tkowa}}=W
E {_ {p}} - 0 = F{_ {c}} \cdot h

E {_{p}} = m \cdot g \cdot h

W ten spos贸b otrzymali艣my energi臋 potencjaln膮 ci臋偶ko艣ci (grawitacji) cia艂a na dowolnej wysoko艣ci nad powierzchni膮 Ziemi. Zauwa偶my, 偶e zale偶y ona od masy cia艂a oraz wysoko艣ci, na jakiej znajduje si臋 to cia艂o.

Energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci

Zmiana energii potencjalnej w przestrzeni mo偶e by膰 zwi膮zana nie tylko ze zmian膮 po艂o偶enia cia艂a, ale r贸wnie偶 z odkszta艂ceniem cia艂a. Najlepszym tego przyk艂adem jest zmiana energii potencjalnej cia艂a zawieszonego na spr臋偶ynie. Si艂a odkszta艂caj膮ca spr臋偶yn臋 to si艂a spr臋偶ysto艣ci, kt贸rej warto艣膰 przedstawimy wzorem:

F_s=k\cdot x

gdzie:

k- wsp贸艂czynnik spr臋偶ysto艣ci (zale偶y od w艂a艣ciwo艣ci materia艂u odkszta艂acaj膮cego si臋 cia艂a),

 x- d艂ugo艣膰, o jak膮 wyd艂u偶y艂a si臋 spr臋偶yna.

Zastan贸wmy si臋, jak b臋dzie zmienia艂a si臋 energia potencjalna odkszta艂conego cia艂a, czyli energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci.

Zauwa偶my, 偶e im wi臋ksze b臋dzie odkszta艂cenie cia艂a, czyli na przyk艂ad im bardziej wyd艂u偶ymy spr臋偶yn臋, tym wi臋ksza si艂a b臋dzie na ni膮 dzia艂a艂a. Si艂a spr臋偶ysto艣ci jest wprost proporcjonalna do wyd艂u偶enia spr臋偶yny, co mo偶emy przedstawi膰 na wykresie:

Ryc. 2. Wykres zale偶no艣ci warto艣ci si艂y spr臋偶ysto艣ci od wyd艂u偶enia

Mamy og贸ln膮 prawid艂owo艣膰, kt贸ra m贸wi nam, 偶e pole pod wykresem zale偶no艣ci si艂y dzia艂aj膮cej na cia艂o od zmiany po艂o偶enia tego cia艂a lub odkszta艂cenia odpowiada pracy wykonanej nad tym cia艂em. Z wykresu wynika, 偶e dla dowolnego wyd艂u偶enia x praca wykonana przez si艂臋 spr臋偶ysto艣ci b臋dzie odpowiada艂a polu tr贸jk膮ta pod tym wykresem:

Ryc. 3. Wykres zale偶no艣ci warto艣ci si艂y spr臋偶ysto艣ci od wyd艂u偶enia z oznaczon膮 prac膮 wykonan膮 przez si艂臋 spr臋偶ysto艣ci przy odkszta艂ceniu cia艂a o x

Zauwa偶my, 偶e mamy do czynienia z tr贸jk膮tem prostok膮tnym, kt贸rego d艂ugo艣ci bok贸w odpowiadaj膮 wielko艣ciom F_s鈥 i x. Oznacza to, 偶e praca wykonana przez si艂臋 spr臋偶ysto艣ci wynosi:

W = \frac{1}{2} \cdot F {\scriptscriptstyle{s}} \cdot x

Zmiana energii potencjalnej spr臋偶ysto艣ci b臋dzie odpowiada艂a pracy wykonanej przy zmianie odkszta艂cenia cia艂a:

\Delta E{_{p.s.}}=W

Gdy cia艂o nie jest odkszta艂cone, przyjmujemy, 偶e nie posiada energii potencjalnej spr臋偶ysto艣ci, czyli podobnie jak w przypadku energii potencjalnej ci臋偶ko艣ci, pocz膮tkowa energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci jest zerowa:

E{_{p.s.pocz膮tkowa}}=0

Potencjalna energia ko艅cowa po odkszta艂ceniu b臋dzie odpowiada艂a energii potencjalnej spr臋偶ysto艣ci tego cia艂a dok艂adnie przy tym wyd艂u偶eniu E_{p.s.}鈥:

E{_{p.s.ko艅cowa}}=E{_{p.s.}}

Oznacza to, 偶e w og贸lnym przypadku energi臋 potencjaln膮 spr臋偶ysto艣ci dla dowolnego wyd艂u偶enia (odkszta艂cenia) x mo偶emy opisa膰 za pomoc膮 wzoru:

\Delta E {_{p.s.}} = W
E {_{p.s. ko艅cowa}} - E {_{p.s. pocz膮tkowa}} = W
E {_{p.s.}} - 0 = \dfrac{1}{2} \cdot F_s \cdot x
E {_{p.s.}} = \frac {1}{2} \cdot k \cdot x \cdot x
E {_{p.s.}} = \frac {1}{2} \cdot k \cdot x^2

Z powy偶szego wyprowadzenia otrzymali艣my energi臋 potencjaln膮 spr臋偶ysto艣ci uk艂adu przy dowolnym jego odkszta艂ceniu (np. wyd艂u偶enie spr臋偶yny).

Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jest energi膮 zwi膮zan膮 z ruchem cia艂a. Skoro cia艂o si臋 porusza, to posiada pewn膮 pr臋dko艣膰, kt贸r膮 nada mu dzia艂aj膮ca na nie si艂a. Wykona ona w贸wczas prac臋. W tym przypadku ma艂o istotn膮 kwesti膮 jest dla nas pochodzenie tej si艂y, dlatego b臋dzie to si艂a wypadkowej, kt贸rej warto艣膰 zgodnie z II zasad膮 dynamiki Newtona przedstawimy wzorem:

F=m\cdot a

gdzie:

m- masa poruszaj膮cego si臋 cia艂a,

a- warto艣膰 przyspieszenia, z jakim porusza si臋 to cia艂o.

Skoro na cia艂o dzia艂a si艂a, to porusza si臋 ono z przyspieszeniem. W贸wczas droga, jak膮 przebywa to cia艂o w tym ruchu, mo偶e zosta膰 obliczona za pomoc膮 wzoru:

s = v _0 t + \frac{1}{2}at^2

gdzie:

v_0- szybko艣膰 pocz膮tkowa, jak膮 cia艂o posiada艂o w chwili, gdy zaczyna艂a dzia艂a膰 na nie si艂a,

t- czas, w jakim porusza艂o si臋 cia艂o, czyli czas dzia艂ania na nie si艂y,

a- warto艣膰 przyspieszenia cia艂a.

Zgodnie z definicj膮 przyspieszenia jego warto艣膰 mo偶emy przedstawi膰 wzorem:

a = \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} 

gdzie:

\Delta v=v-v_0- miana szybko艣ci cia艂a w czasie ruchu, przy czym v jest szybko艣ci膮 ko艅cow膮 tego cia艂a, a v_0 jest szybko艣ci膮 pocz膮tkow膮 cia艂a,

\Delta t=t- zmiana czasu, w jakim nast臋puje zmiana szybko艣ci, kt贸ra odpowiada czasowi, w jakim si艂a dzia艂a na cia艂o.

Oznacza to, 偶e praca wykonana podczas nadawania cia艂u pewnej szybko艣ci v ma posta膰:

W=F\cdot s

Podstawiamy wyra偶enia na warto艣膰 si艂y i drogi:

W = m \cdot a\cdot(v_0t + \frac{1}{2}at^2)

Podstawiamy zale偶no艣膰 opisuj膮c膮 przyspieszenie:

W = m\cdot\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\cdot(v_0t + \frac{1}{2}\cdot\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\cdot t^2)
W = m\cdot\frac{{v - v _0}}{t}\cdot(v_0t + \frac{1}{2}\cdot\frac{{v - v _0}}{t}\cdot t^2)
W = m\cdot\frac{{v - v _0}}{t}\cdot(v_0t + \frac{1}{2}\cdot{(v - v _0})\cdot t)
W = m\cdot\frac{{v - v _0}}{t}\cdot(v_0t + \frac{1}{2}vt-\frac{1}{2}{v _0t})
W = m\cdot\frac{{v - v _0}}{t}\cdot(\frac{1}{2}vt + \frac{1}{2}{v _0t})
W = m\cdot\frac{{v - v _0}}{t}\cdot\frac{1}{2}t \cdot(v+v_0)
W =\frac{1}{2}m \cdot(v-v_0)\cdot(v+v_0)

Wymna偶amy przez siebie jednomiany w nawiasach:

W = \frac{1}{2}m\cdot[v\cdot v+v_0\cdot v -v_0\cdot v-v_0\cdot v_0]

Skracamy wyra偶enia podobne:

W = \frac{1}{2}m\cdot[ v^2-{v_{0}}^2]

Zmiana energii kinetycznej b臋dzie odpowiada艂a pracy wykonanej przy zmianie szybko艣ci cia艂a:

\Delta{E}_k=W

Za艂贸偶my, 偶e na pocz膮tku cia艂o si臋 nie porusza, czyli warto艣膰 jego pr臋dko艣ci pocz膮tkowej jest zerowa:

v_0=0

Skoro cia艂o si臋 nie porusza, to jego pocz膮tkowa energia kinetyczna b臋dzie r贸wnie偶 zerowa:

E{_{k.pocz膮tkowa}}=0

Oznacza to, 偶e praca, jaka zosta艂a wykonana przy nadawaniu cia艂u szybko艣ci v, ma posta膰:

W=\frac{1}{2}m\cdot[v^2-0^2]
W=\frac{1}{2}mv^2

W贸wczas energia ko艅cowa dla dowolnej szybko艣ci v uzyskanej przez to cia艂o odpowiada energii kinetycznej cia艂a dok艂adnie dla tej szybko艣ci:

E{_{k.ko艅cowa}}=E_k

Zatem:

\Delta E_k=W
E{_{k. ko艅cowa}}-E{_{k. pocz膮tkowa}}=W
E{_{k}}-0=\frac{1}{2}mv^2
E{_{k}}=\frac{1}{2}mv^2

Z powy偶szego wyprowadzenia otrzymali艣my energi臋 kinetyczn膮 uk艂adu dla dowolnej szybko艣ci, z jak膮 ten uk艂ad si臋 porusza.

Zasada zachowania energii 鈥 przyk艂ady zastosowania

Energia wyst臋puje w r贸偶nych postaciach i nie mo偶e by膰 niszczona ani samoistnie wytworzona. Jest przekazywana w rozmaitych procesach fizycznych, sk膮d wynika zasada zachowania energii. Mo偶emy j膮 sformu艂owa膰 w nast臋puj膮cy spos贸b:

W izolowanym uk艂adzie suma wszystkich rodzaj贸w energii uk艂adu jest sta艂a w czasie.

Oznacza to, 偶e pomimo up艂ywu czasu suma energii potencjalnej i kinetycznej cia艂a jest taka sama w ka偶dym punkcie rozwa偶anego uk艂adu. Mo偶emy og贸lnie przedstawi膰 j膮 wzorem:

E_c=E_k+E_p

Zobaczmy, jak stosowa膰 t臋 zasad臋 w praktyce na najbardziej popularnych przyk艂adach.

Spadek swobodny cia艂a

Ze spadkiem swobodnym cia艂a mamy do czynienia, gdy pominiemy wp艂yw si艂y opor贸w ruchu oraz tarcia w czasie ruchu tego cia艂a. Zak艂adamy, 偶e cia艂o znajduje si臋 na pewnej wysoko艣ci, z kt贸rej spada swobodnie. Skoro cia艂o fizyczne (np. pi艂ka) spada swobodnie, to oznacza, 偶e na pocz膮tku ruchu nie nadano jej 偶adnej szybko艣ci pocz膮tkowej i porusza si臋 ono w wyniku dzia艂ania na nie si艂y ci臋偶ko艣ci. Za艂贸偶my, 偶e wysoko艣膰 z jakiej spada to cia艂o wynosi H. Zastan贸wmy si臋 nad przemianami energii tego cia艂a na kilku wybranych punktach po艣rednich w tym spadku (np. w \frac{3}{4} maksymalnej wysoko艣ci, po艂owie wysoko艣ci i \frac{1}{4} ca艂kowitej wysoko艣ci) oraz na maksymalnej wysoko艣ci oraz na pod艂o偶u. Mo偶emy ten przypadek przedstawi膰 nast臋puj膮cym schematem:

Ryc. 4. Przedstawienie energii potencjalnej ci臋偶ko艣ci i kinetycznej w uk艂adzie, w kt贸rym mamy do czynienia ze spadkiem swobodnym

W powy偶szym przyk艂adzie poszczeg贸lne wysoko艣ci wynosz膮:

h_0=0
h_1=\frac{1}{4}H
h_2=\frac{1}{2}H
h_3=\frac{3}{4}H
h_4=H

W贸wczas tak naprawd臋 energie potencjalne tego cia艂a na tych wysoko艣ciach mo偶emy przedstawi膰 jako:

E{_{p.0}}=mg\cdot0=0
E{_{p.1}}=mg\cdot\frac{1}{4}H=\frac{1}{4}mgH
E{_{p.2}}=mg\cdot\frac{1}{2}H=\frac{1}{2}mgH
E{_{p.3}}=mg\cdot\frac{3}{4}H=\frac{3}{4}mgH
E{_{p.4}}=mgH

Zgodnie z zasad膮 zachowania energii ca艂kowita energia mechaniczna uk艂adu w ka偶dym punkcie spadku tego cia艂a jest taka sama, czyli prawdziwe jest r贸wnanie:

E{_{p.0}}+E{_{k.0}}=E{_{p.1}}+E{_{k.1}}=E{_{p.2}}+E{_{k.2}}=
=E{_{p.3}}+E{_{k.3}}=E{_{p.4}}+E{_{k.4}}

艁atwo mo偶emy wyznaczy膰 warto艣ci szybko艣ci tego cia艂a na ka偶dej z tych wysoko艣ci, korzystaj膮c z zasady zachowania energii.

1.\ {\text{dla }} h_4=H:
v_4=0, {\text{czyli }}E{_{k.4}}=0
2.\ {\text{dla }} h_3=\frac{3}{4}H:
E{_{p.3}}+E{_{k.3}}=E{_{p.4}}+E{_{k.4}}
\frac{3}{4}mgH + \frac{1}{2}mv{_3}^2=mgH+0
v{_3}^2=\frac{1}{2}gH
v{_3}=\sqrt{\frac{1}{2}gH}
3.\ {\text{dla }} h_2=\frac{1}{2}H:
E{_{p.2}}+E{_{k.2}}=E{_{p.4}}+E{_{k.4}}
\frac{1}{2}mgH + \frac{1}{2}mv{_2}^2=mgH+0
v{_2}^2=gH
v{_2}=\sqrt{gH}
4.\ {\text{dla }} h_1=\frac{1}{2}H:
E{_{p.1}}+E{_{k.1}}=E{_{p.4}}+E{_{k.4}}
\frac{1}{4}mgH + \frac{1}{2}mv{_1}^2=mgH+0
v{_1}^2=\frac{3}{2}gH
v{_2}=\sqrt{\frac{3}{2}gH}
5.\ {\text{dla }} h_0=0:
E{_{p.0}}+E{_{k.0}}=E{_{p.4}}+E{_{k.4}}
0+ \frac{1}{2}mv{_0}^2=mgH+0
v{_0}^2=2gH
v{_0}=\sqrt{2gH}

Zauwa偶my, 偶e 偶adna z wyznaczonych szybko艣ci nie zale偶y od masy cia艂a, a jedynie od wysoko艣ci, z kt贸rej spada to cia艂o. Kolejnym wa偶nym wnioskiem jest fakt, 偶e szybko艣膰 cia艂a wzrasta w czasie spadku. Jest to zgodne z nasz膮 wiedz膮 z kinematyki. Je偶eli zastosujemy definicj臋 przyspieszenia i wz贸r na drog臋 w ruchu jednostajnie przyspieszonym, to powinni艣my otrzyma膰 dok艂adnie takie same wyniki!

Wahad艂o matematyczne

Wahad艂o matematyczne w czasie ruchu drgaj膮cego wznosi si臋 na pewn膮 maksymaln膮 wysoko艣膰, odchylaj膮c si臋 w tym samym czasie na maksymaln膮 odleg艂o艣膰 odpowiadaj膮c膮 amplitudzie drga艅.

Przeanalizujmy przemiany energii takiego wahad艂a, gdy wychylimy je z po艂o偶enia r贸wnowagi do amplitudy.

  • Dla x聽= -A mamy wahad艂o matematyczne, kt贸rego wysoko艣膰 nad najni偶szym mo偶liwym po艂o偶eniem jest najwi臋ksza. W tym punkcie wahad艂o zatrzymuje si臋, a jego szybko艣膰 jest zerowa. Oznacza to, 偶e energia potencjalna jest wtedy najwi臋ksza, a energia kinetyczna przyjmuje zerow膮 warto艣膰.
  • Dla x聽= 0 mamy po艂o偶enie r贸wnowagi tego wahad艂a. W贸wczas wahad艂o znajduje si臋 najni偶ej, a jego energia potencjalna ci臋偶ko艣ci przyjmuje zerow膮 warto艣膰. Zatem zgodnie z zasad膮 zachowania energii, energia kinetyczna wahad艂a w tym punkcie b臋dzie najwi臋ksza, co oznacza 偶e w po艂o偶eniu r贸wnowagi pr臋dko艣膰 liniowa tego wahad艂a przyjmie najwi臋ksz膮 mo偶liw膮 warto艣膰.
  • Dla x聽= A mamy wahad艂o matematyczne odchylone maksymalnie od po艂o偶enia r贸wnowagi w przeciwn膮 stron臋 ni偶 w chwili pocz膮tkowej ruchu. Jednak tak samo jak w przypadku x聽= -A, energia potencjalna jest najwi臋ksza, a energia kinetyczna 鈥 zerowa. 

Gdy mamy do czynienia z wahad艂em matematycznym, to bez trudu za pomoc膮 linijki lub ta艣my mierniczej mo偶emy zmierzy膰 jego d艂ugo艣膰, amplitud臋 drga艅, a za pomoc膮 stopera wyznaczy膰 okres. Je偶eli w czasie wykonywania do艣wiadczenia nagramy ruch drgaj膮cego uk艂adu, to r贸wnie偶 nie sprawi nam trudno艣ci wyznaczenie dok艂adnych wysoko艣ci kulki wahad艂a nad po艂o偶eniem r贸wnowagi.

Zastan贸wmy si臋, jak wyznaczy膰 najwi臋ksz膮 szybko艣膰 osi膮gan膮 przez to wahad艂o. Do rozwi膮zania tego problemu skorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej. Zapiszmy, jakie energie posiada ma艂a kulka zawieszona na niewa偶kiej nitce w poszczeg贸lnych etapach ruchu.

Ryc. 5. Pierwszy etap ruchu wahad艂a matematycznego

Ryc. 6. Drugi etap ruchu wahad艂a matematycznego

Ryc. 7. Trzeci etap etap ruchu wahad艂a matematycznego

Ryc. 8. Czwarty etap ruchu wahad艂a matematycznego

Zgodnie z zasad膮 zachowania energii spe艂nione jest r贸wnanie:

E{_{p.-A}}+E{_{k.-A}}=E{_{p.0}}+E{_{k.0}}=E{_{p.x}}+E{_{k.x}}=E{_{p.A}}+E{_{k.A}}

Oznacza to, 偶e maksymaln膮 szybko艣膰 osi膮gan膮 przez wahad艂o w najni偶szym po艂o偶eniu mo偶emy obliczy膰 za pomoc膮 wzoru:

E{_{p.0}}+E{_{k.0}}=E{_{p.-A}}+E{_{k.-A}}
0+\frac{mv{_{max}}^2}{2}=mgh{_{max}}+0
v{_{max}}=\sqrt{2gh{_{max}}}

Natomiast szybko艣膰 w dowolnym po艂o偶eniu pomi臋dzy po艂o偶eniem r贸wnowagi a amplitud膮 spe艂nia r贸wnanie:

E{_{p.x}}+E{_{k.x}}=E{_{p.A}}+E{_{k.A}}
mgh + \frac{mv{_{x}}^2}{2}=mgh{_{max}}+0
\frac{mv{_{x}}^2}{2}=mgh{_{max}}-mgh
{v{_{x}}^2}=2g({h_{max}}-h)
v{_{x}}=\sqrt{2g(h{_{max}-h)}}

Energia cia艂a na spr臋偶ynie

Ciekawym przyk艂adem zastosowania zasady zachowania energii jest rozwa偶enie drga艅 cia艂a zaczepionego na spr臋偶ynie. W贸wczas, opr贸cz energii potencjalnej ci臋偶ko艣ci oraz energii kinetycznej, musimy rozwa偶a膰 energi臋 potencjaln膮 spr臋偶ysto艣ci.

Zobaczmy, jak przebiegaj膮 przemiany energii w takim przypadku.

Zawieszamy ci臋偶arek na spr臋偶ynie

Nierozci膮gni臋ta spr臋偶yna ma zerowe wyd艂u偶enie, a gdy powiesimy na niej ci臋偶arek, jej wyd艂u偶enie wzro艣nie, czyli wzro艣nie r贸wnie偶 energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci. Aby wprawi膰 uk艂ad w drgania, musimy wyd艂u偶y膰 jeszcze dodatkowo spr臋偶yn臋, dzia艂aj膮c na ni膮 si艂膮 naszych r膮k. W贸wczas rozci膮gni臋cie spr臋偶yny b臋dzie maksymalne. Oznacza to, 偶e gdy ci臋偶arek znajduje si臋 w najni偶szym mo偶liwym po艂o偶eniu, posiada najmniejsz膮 mo偶liw膮 energi臋 potencjaln膮 ci臋偶ko艣ci. Poniewa偶 jednak jego wychylenie jest najwi臋ksze, to energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci przyjmuje maksymaln膮 warto艣膰. Szybko艣膰 ci臋偶arka w tym po艂o偶eniu jest zerowa, czyli energia kinetyczna r贸wnie偶 jest zerowa.

Puszczamy ci臋偶arek

Ci臋偶arek znajduj膮cy si臋 w najni偶szym mo偶liwym po艂o偶eniu w wyniku dzia艂ania si艂y spr臋偶ysto艣ci zacznie przemieszcza膰 si臋 w stron臋 po艂o偶enia r贸wnowagi. Zatem ci臋偶arek podnosi si臋 coraz wy偶ej, spr臋偶yna zmniejsza swoje wyd艂u偶enie, a szybko艣膰 ci臋偶arka wzrasta. Oznacza to, 偶e energia potencjalna ci臋偶ko艣ci ro艣nie, energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci maleje, a energia kinetyczna ro艣nie.

Ci臋偶arek mija po艂o偶enie r贸wnowagi

Gdy ci臋偶arek minie po艂o偶enie r贸wnowagi, spr臋偶yna nadal kurczy si臋, czyli energia spr臋偶ysto艣ci wci膮偶 maleje. W czasie tego ruchu zmniejsza si臋 szybko艣膰 ci臋偶arka, to znaczy, 偶e energia kinetyczna maleje a偶 osi膮gnie zerow膮 warto艣膰. Ci臋偶arek porusza si臋 w stron臋 maksymalnego po艂o偶enia, w zwi膮zku z czym jego energia potencjalna ci臋偶ko艣ci ro艣nie, a energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci maleje.

Ci臋偶arek wraca do po艂o偶enia r贸wnowagi

Po tym, jak ci臋偶arek znalaz艂 si臋 w swoim najwy偶szym po艂o偶eniu, zaczyna on opada膰. W贸wczas a偶 do osi膮gni臋cia po艂o偶enia r贸wnowagi energia kinetyczna ro艣nie, by w nim osi膮gn膮膰 maksymaln膮 warto艣膰. Energia potencjalna ci臋偶ko艣ci maleje, ale w wyniku wyd艂u偶ania si臋 spr臋偶yny energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci ro艣nie a偶 osi膮gnie maksymaln膮 warto艣膰.

Ryc. 9. Przemiany energii w ruchu cia艂a zawieszonego na spr臋偶ynie

Podsumowanie

1. Praca mechaniczna jest wykonywana, gdy na cia艂o dzia艂a si艂a, w wyniku czego cia艂o to ulega przemieszczeniu lub odkszta艂ceniu.
2. Energia jest to wielko艣膰 fizyczna, kt贸ra charakteryzuje stan uk艂adu.
3. Wyr贸偶niamy nast臋puj膮ce rodzaje energii mechanicznej:

  • energia potencjalna ci臋偶ko艣ci 鈥 zwi膮zana z po艂o偶eniem cia艂a wzgl臋dem pewnego poziomu zerowego,
  • energia potencjalna spr臋偶ysto艣ci 鈥 zwi膮zana z odkszta艂ceniem cia艂a, 
  • energia kinetyczna 鈥 zwi膮zana z ruchem cia艂a. 

4. Zasada zachowania energii: w izolowanym uk艂adzie suma wszystkich rodzaj贸w energii uk艂adu jest sta艂a w czasie.

Utrwal wiedz臋

Rozwi膮偶 zadania do tego tematu i utrwal wiedz臋. Nast臋pnie sprawd藕 swoje odpowiedzi z rozwi膮zaniami przygotowanymi przez nauczycieli Odrabiamy.pl.

Zadanie 1. Zadanie 2.

Materia艂y 藕r贸d艂owe

Informacje

1. Sagnowska B., Rozenbajgier M., Rozenbajgier R., Szot-Gawlik D., Godlewska M., 艢wiat fizyki 7. Podr臋cznik, WSiP.
2. Fia艂kowska M., Sagnowska B., Salach J., Fizyka 1, podr臋cznik zakres rozszerzony, WSiP.
3. Fia艂kowska M., Sagnowska B., Salach J., Kreiner J.M., Fizyka 2, podr臋cznik zakres rozszerzony, WSiP.
4. Wysocka-Kunisz M., Krupi艅ski L., Barna G., Dusza R., Fornalska J., Fizyka 8, podr臋cznik dla klasy 贸smej szko艂y podstawowej, MAC Edukacja.

Ilustracje

[Ryc. 1. 鈥 6.] Opracowanie w艂asne

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl