W artykule
W tym artykule znajdziesz najważniejsze informacje dotyczące ostrosłupów. Czym są ostrosłupy? W jaki sposób obliczyć pole powierzchni całkowitej oraz objętość ostrosłupa? Sprawdź!
Ostrosłup – podstawowe informacje
Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:
- podstawą jest dowolny wielokąt,
- ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa.
Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły.
Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości.
Ostrosłup prawidłowy
Ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi. Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem.
Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.
Czy wiesz, że…
Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm, to opasałby on całą Polskę.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej. Z kolei pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.
P_c = P_p + P_b
gdzie:
P_c – pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,
P_p – pole podstawy ostrosłupa,
P_b – pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
Objętość ostrosłupa
Objętość ostrosłupa liczy się bardzo podobnie jak objętość graniastosłupa.
Wystarczy zapamiętać, że objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości.
V = \frac{1}{3}P_p \cdot H
gdzie:
V – objętość ostrosłupa,
P_p – pole podstawy ostrosłupa,
H – długość wysokości ostrosłupa.
Odcinki w ostrosłupach
W ostrosłupie rozróżniamy 4 różne odcinki:
Przykładowe zadanie
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 10 cm, a wysokość ostrosłupa jest równa 6 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Krawędź podstawy, czyli bok kwadratu ma długość 10 cm.
Obliczamy, ile wynosi pole podstawy tego ostrosłupa.
Rysunek pomocniczy:
P_p = (10 \ cm)^2 = 100 \ cm^2
Wysokość ostrosłupa ma długość 6 cm.
H = 6 \ cm
Obliczamy objętość tego ostrosłupa.
V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H
V = \frac{1}{3} \cdot 100 \ cm^2 \cdot 6 \ cm
V = 200 \ cm^3
Korzystając teraz z twierdzenia Pitagoras, obliczamy, ile wynosi długość wysokości ściany bocznej (h, h > 0).
(6 \ cm)^2 +(5 \ cm)^2 = h^2
36 \ cm^2+25 \ cm^2 = h^2
61 \ cm^2 = h^2
h = \ \sqrt{61} \ cm
Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej.
Powierzchnia boczna składa się z 4 identycznych ścian w kształcie trójkąta równoramiennego, którego podstawa ma długość 10 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość \sqrt{61} cm.
P_b=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \ cm \cdot \sqrt{61}
P_b=20\sqrt{61} \ cm^2
Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
P_c=P_p+P_b
P_c=100 \ cm^2+20\sqrt{61} \ cm^2
P_c=20(5+\sqrt{61} \ cm^2
Utrwal wiedzę
Rozwiąż zadania do tego tematu i utrwal wiedzę. Następnie sprawdź swoje odpowiedzi z rozwiązaniami przygotowanymi przez nauczycieli Odrabiamy.pl.
Agnieszka
