Graniastosłupy

W tym artykule znajdziesz najważniejsze informacje dotyczące graniastosłupów oraz przykładowe zadania. Gotowy do wspólnej nauki? Zaczynamy!

Prostopadłościan

Właściwości prostopadłościanu:

• Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
• Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
• Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.
• Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.
• Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Sześcian

Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami. 
Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Prostopadłościan prosty

Prostopadłościan prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

• Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe.
• Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.
• Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.
• Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.
• Krawędź boczna jest prostopadła do odpowiednich krawędzi podstawy.

Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich. W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna. Oznaczamy ją literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.

W graniastosłupie prawidłowym:

• podstawy to przystające wielokąty,
• ściany boczne to przystające prostokąty.

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.
Składa się z pola powierzchni bocznej, czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw.

P_c = 2P_p + P_b

gdzie:
P_c – pole powierzchni całkowitej graniastosłupa,
P_p – pole podstawy graniastosłupa,
P_b – pole powierzchni bocznej graniastosłupa.

Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan

P_c = 2P_p + P_b
P_p = a ⋅ b = ab
P_b = 2 ⋅ a ⋅ c + 2 ⋅ b ⋅ c = 2ac + 2bc

Zatem:
P_c = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc)

Sześcian

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6.

P_c = 2P_p + P_b
P_p = a⋅ a = a^2
P_b = 4 ⋅ a ⋅ a = 4a^2

Zatem:
P_c = 2a^2 + 4a^2 = 6a^2

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa.

V = P_p ⋅ H

gdzie:
V – objętość graniastosłupa,
P_p – pole podstawy,
H – długość wysokości graniastosłupa. 

Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan

V = P_p ⋅ H
P_p = a ⋅ b = ab
H = c

Zatem:
V = ab ⋅ c = abc

Sześcian

V = P_p ⋅ H
P_p = a ⋅ a = a^2
H = a

Zatem:
V = a^2 ⋅ a = a^3

Przekątne w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne rodzaje przekątnych:

• przekątną podstawy,
• przekątną ściany bocznej,
• przekątną graniastosłupa – odcinek łączący dwa wierzchołki, graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie.

Uwaga!
Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej.