Skip to content

W artykule

W tym artykule znajdziesz najwa偶niejsze informacje dotycz膮ce ostros艂up贸w. Czym s膮 ostros艂upy? W jaki spos贸b obliczy膰 pole powierzchni ca艂kowitej oraz obj臋to艣膰 ostros艂upa? Sprawd藕!

Ostros艂up 鈥 podstawowe informacje

Ostros艂up to bry艂a (figura przestrzenna), kt贸rej:

  • podstaw膮 jest dowolny wielok膮t,
  • 艣ciany boczne s膮 tr贸jk膮tami o wsp贸lnym wierzcho艂ku, kt贸ry nosi nazw臋 wierzcho艂ka ostros艂upa.

Ostros艂up, tak jak graniastos艂up, przyjmuje swoj膮 nazw臋 od wielok膮ta, kt贸ry jest jego podstaw膮.

Wysoko艣膰 ostros艂upa (H) to odcinek 艂膮cz膮cy wierzcho艂ek ostros艂upa z p艂aszczyzn膮 podstawy i do niej prostopad艂y.
Punkt wsp贸lny wysoko艣ci i p艂aszczyzny podstawy to spodek wysoko艣ci.

Ostros艂up

Ostros艂up prawid艂owy

Ostros艂up, kt贸rego podstaw膮 jest wielok膮t foremny, a kraw臋dzie boczne maj膮 jednakow膮 d艂ugo艣膰. 艢ciany boczne ostros艂upa prawid艂owego s膮 przystaj膮cymi tr贸jk膮tami r贸wnoramiennymi. Ostros艂up tr贸jk膮tny nazywamy czworo艣cianem.

Czworo艣cian

Ostros艂up, kt贸rego wszystkie 艣ciany s膮 tr贸jk膮tami r贸wnobocznymi nazywamy czworo艣cianem foremnym.

Czy wiesz, 偶e鈥

Piramida Cheopsa jest najwi臋kszym na 艣wiecie ostros艂upem prawid艂owym czworok膮tnym. Ma 146 m wysoko艣ci, a kraw臋d藕 jej podstawy ma d艂ugo艣膰 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zu偶yto 2 300 000 blok贸w granitowych o ci臋偶arze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materia艂u zbudowa膰 mur o wysoko艣ci 3 m i grubo艣ci 25 cm, to opasa艂by on ca艂膮 Polsk臋.

Pole powierzchni ca艂kowitej ostros艂upa

Pole powierzchni ca艂kowitej ostros艂upa jest sum膮 pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej. Z kolei pole powierzchni bocznej ostros艂upa to suma p贸l 艣cian bocznych.

P_c = P_p + P_b

gdzie:

P_c 鈥 pole powierzchni ca艂kowitej ostros艂upa,

P_p 鈥 pole podstawy ostros艂upa,

P_b 鈥 pole powierzchni bocznej ostros艂upa.

Obj臋to艣膰 ostros艂upa

Obj臋to艣膰 ostros艂upa liczy si臋 bardzo podobnie jak obj臋to艣膰 graniastos艂upa.

Wystarczy zapami臋ta膰, 偶e obj臋to艣膰 ostros艂upa jest 3 razy mniejsza od obj臋to艣ci graniastos艂upa o takiej samej podstawie i wysoko艣ci.

V = \frac{1}{3}P_p \cdot H

gdzie:

V 鈥 obj臋to艣膰 ostros艂upa,

P_p 鈥 pole podstawy ostros艂upa,

H 鈥 d艂ugo艣膰 wysoko艣ci ostros艂upa.

Odcinki w ostros艂upach

W ostros艂upie rozr贸偶niamy 4 r贸偶ne odcinki:

Wysoko艣膰 podstawy ostros艂upa

Wysoko艣膰 ostros艂upa

Przek膮tne podstawy ostros艂upa

Wysoko艣ci 艣cian bocznych ostros艂upa

Przyk艂adowe zadanie

W ostros艂upie prawid艂owym czworok膮tnym kraw臋d藕 podstawy ma d艂ugo艣膰 10 cm, a wysoko艣膰 ostros艂upa jest r贸wna 6 cm. Oblicz obj臋to艣膰 i pole powierzchni ca艂kowitej ostros艂upa.

Rozwi膮zanie:

Podstaw膮 ostros艂upa prawid艂owego czworok膮tnego jest kwadrat. Kraw臋d藕 podstawy, czyli bok kwadratu ma d艂ugo艣膰 10 cm.
Obliczamy, ile wynosi pole podstawy tego ostros艂upa.

Rysunek pomocniczy:

Ostros艂up - zadanie

P_p = (10 \ cm)^2 = 100 \ cm^2

Wysoko艣膰 ostros艂upa ma d艂ugo艣膰 6 cm.

H = 6 \ cm

Obliczamy obj臋to艣膰 tego ostros艂upa.

V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H

V = \frac{1}{3} \cdot 100 \ cm^2 \cdot 6 \ cm

V = 200 \ cm^3

Korzystaj膮c teraz z twierdzenia Pitagoras, obliczamy, ile wynosi d艂ugo艣膰 wysoko艣ci 艣ciany bocznej (h, h > 0).

(6 \ cm)^2 +(5 \ cm)^2 = h^2

36 \ cm^2+25 \ cm^2 = h^2

61 \ cm^2 = h^2

h = \ \sqrt{61} \ cm 

Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej.
Powierzchnia boczna sk艂ada si臋 z 4 identycznych 艣cian w kszta艂cie tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego, kt贸rego podstawa ma d艂ugo艣膰 10 cm, a wysoko艣膰 opuszczona na t臋 podstaw臋 ma d艂ugo艣膰 \sqrt{61} cm.

P_b=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \ cm \cdot \sqrt{61}

P_b=20\sqrt{61} \ cm^2

Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni ca艂kowitej tego ostros艂upa.

P_c=P_p+P_b

P_c=100 \ cm^2+20\sqrt{61} \ cm^2

P_c=20(5+\sqrt{61} \ cm^2

Utrwal wiedz臋

Rozwi膮偶 zadania do聽tego tematu i聽utrwal wiedz臋. Nast臋pnie sprawd藕 swoje odpowiedzi z聽rozwi膮zaniami przygotowanymi przez聽nauczycieli Odrabiamy.pl.

Zadanie 1. Zadanie 2.

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl