W artykule
Czym są wyrażenia algebraiczne? Co nazywamy jednomianami? jak wykonywać działania na wyrażeniach algebraicznych? Sprawdź w artykule.
Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.
Przykłady:
{\text{a)}} \space x+5{\text{b)}} \space x^2-y^2{\text{c)}} \space 2+a{\text{d)}} \space 3x-5y{\text{e)}} \space y^2{\text{f)}} \space \frac{1}{2}ah{\text{g)}} \space -\frac{3}{4}Uwaga:
Wyrażenie 3⋅x możemy zapisać prościej jako 3x.
Wyrażenie 3⋅(m + n) możemy zapisać prościej jako 3(m + n).
Uwaga!
Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba, NIE WOLNO pominąć kropki.
Wyrażenia 3 + x ⋅ 5 nie można zapisać jako \sout{3 + x5}.
Wyrażenia (3m + n)⋅7 nie można zapisać jako \sout{(3m + n)7}.
W poniższej tabeli znajdziesz przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.
| Wyrażenie algebraiczne | Sposób odczytywania |
| 3 + b | suma liczb 3 i b |
| a - b | różnica liczb a - b |
| x · y | iloczyn liczb x i y |
| m : 2 | iloraz liczb m i 2 |
| 2y | podwojona liczba y |
| 1/2z | połowa liczby z |
| 1/3b | trzecia część liczby b |
| x² | kwadrat liczby x |
| -2kl | iloczyn liczb -2, k i l |
Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych
Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.
Przykłady:
Oblicz wartość liczbową wyrażenia 2y + 3y^2 − 10 dla y = 2.
W miejsce y wstawiamy 2.
2\cdot 2 + 3 \cdot 2^2-10=4+3 \cdot 4-10=
=4+12-10=16-10=6
Wartość wyrażenia 2y + 3y^2 − 10 dla y = 2 wynosi 6.
Jednomiany
W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.
Przykłady jednomianów: -7b,\ 4bk,\ 10z,\ 5t^2,\ x,\ -5
Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.
Przykłady:
- 13k^2 → współczynnik liczbowy: 13
- −4xyz → współczynnik liczbowy: -4
W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.
Pamiętaj, aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba, a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!
Przykłady:
{\text{a)}} \space \frac{1}{4}\cdot16x\cdot x\cdot 3y=\frac{1}{4}\cdot 16\cdot x\cdot x\cdot 3\cdot y==12\cdot x^2\cdot y=12x2y
{\text{b)}} \space (-15k)\cdot (-3p)=(-15)\cdot k\cdot (-3)\cdot p==45\cdot k\cdot p=45kp
Sumy algebraiczne
Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.
Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.
Przykłady sum algebraicznych:
{\text{a)}} \space 8k-5l-10q{\text{b)}} \space 67r+(-9p)-3Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników, wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.
Przykłady jednomianów podobnych:
{\text{a)}} \space 4xy^2\space i \space 16y^2x {\text{b)}} \space 14nm \space i \space (-16)mn{\text{c)}} \space 3k \space i\space8kRedukcja wyrazów podobnych
Redukcja wyrazów podobnych polega na dodaniu lub odjęciu wyrazów podobnych.
Przykłady redukcji wyrazów podobnych:
2xy+6z-10xy+z-k=-8xy+7z-k
Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z.
8x+2y+9x^2+7-x-3y-x^2=
=8x^2+7x-y+7
Jednomiany podobne to: 9x^2 i -x^2, 8x i -x,\ 2y i -3y.
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.
Przykłady:
{\text{a)}} \space (x-y)+(4x-2y)=x-u+4x-2y=5x-3y{\text{b)}} \space 7k-9m+(11m-4k)=7k-9m+11m4k==3k+2m
Uwaga – ważna zasada!
Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias, należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne.
Przykłady:
{\text{a)}} \space 9l-10k-(11l+7k-11t)==9l-10k-11l-7k+11t=-2l-17k+11t
{\text{b)}} \space 8+2k-(6k+5m)=8+2k-6k-5m==8-4k-5m
Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne
Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.
Przykłady:
{\text{a)}} \space 9a(4c+9b)=9a\cdot4c+9a\cdot9b=36ac+81ab{\text{b)}} \space (a-bc)\cdot5xy=a\cdot5xy-bc\cdot 5xy=5axy-5bcxyMnożenie sum algebraicznych
Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną. Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.
(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=
=mk+ml+nk+nl
Schemat mnożenia sum algebraicznych:
Przykłady:
{\text{a)}} \space (3k-1)(2+t)==3k\cdot 2+3k\cdot t+(-1)\cdot 2+(-1)\cdot t=
=6k+3kt-2-t
{\text{b)}} \space (6l-7b)(9r+4q)==6l\cdot9r+6l\cdot4q+(-7b)\cdot(9r)+(-7b)\cdot4q=
=54lr+24lq-63br-28bq
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej. Czasami warto wykonać odwrotną operację, czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.
Jak to zrobić?
Mamy sumę: 8xy + 2x + 9kx + 17x.
- Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element.
W podanym przykładzie będzie to x.
8xy + 2x + 9kx + 17x - Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną. Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną.
x(8y + 2 + 9k + 17)
Przykłady:
{\text{a)}} \space 9x-3y+18k=3\cdot3x+3\cdot(-y)+3\cdot6k==3(3x-y+6k)
{\text{b)}} \space 5kl+10xk-20qk==5k\cdot l+5k\cdot2x+5k\cdot(-4q)=5k(l+2x-4q)
Zobacz też:
Webinar
Zobacz webinar powtórkowy, podczas którego przeanalizowane zostały najważniejsze zagadnienia dotyczące wyrażeń algebraicznych i równań.
Utrwal wiedzę
Rozwiąż zadania do tego tematu i utrwal wiedzę. Następnie sprawdź swoje odpowiedzi z rozwiązaniami przygotowanymi przez nauczycieli Odrabiamy.pl.
Agnieszka
