Równania

Równania spędzają sen z powiek niejednemu uczniowi. Jak je rozwiązywać? W jaki sposób przekształcać wzory, aby wyznaczyć niewiadomą? Dowiedz się z artykułu.

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome.

Liczby odpowiadające niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady:

• równanie x + 6 = 10 spełnia liczba 4, gdyż 4 + 6 = 10, czyli x = 4
• równanie 2x + 1 = 1 spełnia liczba 0, gdyż 2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1, czyli x = 1

Przykłady:

• jedno rozwiązanie ma równanie x + 5 = 0, spełnia je liczba -5, czyli x = -5
• równanie x + 2 = x + 1 nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba → równanie sprzeczne
• nieskończenie wiele rozwiązań ma równanie x + 2 = 2 + x, spełnia go każda liczba  → równanie tożsamościowe

Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania.
Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne.

Przykład:

• równania x + 2 = 5 i x – 3 = 0 są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3

Jak rozwiązywać równania?

Aby obliczyć, jaka liczba spełnia równanie, należy je rozwiązać.
Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.
Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

1) dodanie tego samego wyrażenia

x-10=14\space \space \space|+10\space dodajemy po obu stronach równania liczbę 10

x=24

2) odjęcie tego samego wyrażenia

y+13=23\space \space \space |-13\space (odejmujemy od obu stron równania liczbę 13

y=10

3) pomnożenie przez tę samą liczbę

0,5x=7\space \space \space |\cdot2\space (mnożymy obie strony równania razy 2)

x=14

4) podzielenie przez tę samą liczbę

3y=27\space \space \space|:3\space (dzielimy obie strony równania przez 3)

y=9

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.
Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie/odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie/dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

1) dodawanie lub odejmowanie tego samego wyrażenia

Ze wzoru z+p=k\space wyznaczamy zmienną z

z+p=k \space \space \space | -p

z=k-p

{\text{Ze wzoru}} \space k-5=x\space {\text{wyznaczamy zmienną}}\space k

k-5=x \space \space \space| +5

k=x+5

2) mnożenie lub dzielenie przez to samo wyrażenie

Ze wzoru \frac{m}{z}=y+l, gdzie z\ne0, wyznaczamy zmienną m.

\frac{m}{z}=y+l\space \space \space |\cdot z

m=(y+l)\cdot z

Ze wzoru dt=x+5 wyznaczamy zmienną d

dt=x+5\space \space \space| :t,\space t\ne0

d=\frac{x+5}{t}

​

Zobacz też:

Wyrażenia algebraiczne (czytaj)

Webinar

Obejrzyj też webinar powtórkowy, podczas którego przeanalizowaliśmy najważniejsze zagadnienia dotyczące wyrażeń algebraicznych i równań.