Liczba Pi

Liczba π (liczba Pi) to stała matematyczna definiowana jako stosunek obwodu koła (długości okręgu) do długości jego średnicy. Występuje ona przykładowo we wzorze na pole koła, pole powierzchni kuli czy objętość kuli. Ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe. Nazywana jest ludolfiną lub stałą Archimedesa.

22 lipca – Dzień Aproksymacji Liczby Pi

Jak już zapewne wiecie, 14 marca obchodzimy Dzień Liczby Pi. Trzy pierwsze znaczące cyfry w zapisie π to 3,14, co w amerykańskim zapisie oznacza właśnie datę 14 marca (Amerykanie zapisują daty w następujący sposób: miesiąc-dzień-rok). Dzień liczby Pi pierwszy raz zorganizowano w 1988 r. w San Francisco w muzeum nauki Exploratorium. Z tej okazji jeden z naukowców, Larry Shaw, przechadzał się po laboratorium i częstował współpracowników ciastem (w języku angielskim słowa pie, czyli ‘ciasto’ oraz Pi mają taką samą wymowę). Skąd zatem wzięła się data 22 lipca (22.07)? O tym przeczytacie w kolejnej części wpisu.

Ryc. 1. Pi(e)

Przybliżanie wartości liczby π

Wiemy, że rozwinięcie dziesiętne liczby π jest nieskończone i nieokresowe, a zatem nie możemy zapisać jej jako ciągu cyfr po przecinku w sposób, który w pełni odpowiadałby rzeczywistości. Rekordzistą Guinnessa, który podał największą liczbę cyfr po przecinku, jest Timothy Mullican z USA – wymienił on rozwinięcie dziesiętne do 50 000 000 000 000 cyfry po przecinku. Wykorzystał w tym celu komputer oraz specjalnie przygotowane oprogramowanie. Cała operacja trwała łącznie 8 miesięcy; w dalszym ciągu jednak w ten sposób zapisana liczba nie była równa dokładnej wartości π.

Liczbę π znano już w starożytności, czyli w czasach, w których (podobno) komputery jeszcze nie istniały. W jaki sposób dawniej radzono sobie z przybliżaniem jej wartości?

Starożytni Babilończycy zauważyli, że obwód okręgu niewiele różni się od obwodu sześciokąta wpisanego w ten okrąg. Przyjmowali więc, że π = 3.

Archimedes w III w. p.n.e. zastosował inną metodę – obliczył on obwody 96-kątów foremnych (wpisanego i opisanego na okręgu), a następnie wyznaczył ich średnią arytmetyczną. Uzyskany wynik wciąż nie był dokładny, ale okazał się o wiele dokładniejszy niż wynik Babilończyków. Przyjmuje się, że to właśnie Archimedes był jedną z  pierwszych osób, które dokonały przybliżenia π = 22/7 (czyli ok. 3,14286) – stąd też wzięła się nasza data. W „naszym” zapisie mamy: dzień-miesiąc-rok, czyli 22.07 to bardzo dobry dzień na świętowanie liczby π.

Ryc. 2. Sześciokąt wpisany w okrąg i sześciokąt opisany na okręgu

Szkic pomysłu Archimedesa – obwód okręgu jest większy niż obwód niebieskiego sześciokąta oraz mniejszy od obwodu czerwonego sześciokąta. Obwód okręgu przybliżamy, obliczając średnią arytmetyczną obwodów obu sześciokątów.

Spróbujmy zastosować tę metodę dla kwadratu. Przyjmijmy, że √2 ≈ 1,41.

Ryc. 3. Kwadrat wpisany w okrąg i kwadrat opisany na okręgu

Obwód czerwonego kwadratu =
= 2 · 4 = 8
Obwód niebieskiego kwadratu =
= 1,41 · 4 = 5,64
Średnia arytmetyczna obwodów =
= (8 + 5,64) : 2 = 6,82
Średnia okręgu = 2
π = 6,82 : 2 = 3,41

Uzyskana wartość jest jeszcze mniej dokładnym przybliżeniem niż wartość stosowana przez Babilończyków – właśnie dlatego Archimedes wykorzystywał wielokąty o większej liczbie boków.

Mniej znane przybliżenia liczby π

W porządku, ale od czasów Archimedesa do współczesności trochę już minęło. Czy komuś udało się w tym okresie dokonać dokładniejszego przybliżenia? Otóż tak. Metoda Archimedesa pozwalała wyznaczać liczbę π teoretycznie z dowolną dokładnością – wystarczyło zamiast 96-kąta wziąć dowolny inny wielokąt o większej liczbie boków. Dokonał tego m.in. chiński uczony Liu Hui, konstruując 3072-kąt i wyznaczając wartość liczby π z jeszcze większą dokładnością: π ≈ 3,1416.

Chiński astronom Zu Chongzhi w V w. dokonał przybliżenia π ≈ 355/113 = 3,1415929203539…, a więc poprawnie wyznaczył 6 pierwszych cyfr po przecinku (z tych liczb trudno byłoby jednak utworzyć datę, która ładnie wyglądałaby w kalendarzu).

Z metody Archimedesa skorzystał również w XVI w. Ludolph van Ceulen. Wyznaczył on przybliżenie π do 20. miejsca po przecinku. Zyskał tym czynem taki szacunek, że na jego cześć liczbę π zaczęto nazywać „ludolfiną”.

Z biegiem czasu podawano jeszcze dokładniejsze przybliżenia. Dla przykładu, William Rutherford w XIX w. przedstawił rozwinięcie π do 440. cyfry po przecinku. A potem… potem do głosu zaczęły dochodzić komputery, czego wynikiem jest 50 bilionów cyfr po przecinku, co było już wspomniane wcześniej.

Czy istnieją jeszcze inne dni liczby π?

Niektórzy matematycy obchodzą również Dzień Liczby Tau (τ), czyli podwojonej liczby π, który przypada na 28 czerwca (ponieważ 2π ≈ 6.28, a więc według amerykańskiego zapisu – 28 czerwca). Czy to już wszystkie potencjalne dni, w czasie których możemy świętować liczbę π? Otóż nie. Wiemy, że rozwinięcie dziesiętne ludolfiny jest nieskończone i nieokresowe, a więc jeśli wybierzemy dowolną sekwencję cyfr, to możemy mieć pewność, że dokładnie taka sama sekwencja pojawi się w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Weźmy dowolną datę, np. 14 lutego. Dzięki tej stronie [link] możemy sprawdzić, w którym miejscu znajduje się ciąg znaków 1402 – jest on na 4539. miejscu po przecinku. Nic więc nie stoi na przeszkodzie, aby również 14 lutego pomyśleć o liczbie π i zjeść z tej okazji kawałek ciasta.

Ile cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π może zapamiętać ludzki mózg?

Na całym świecie organizowane są konkursy w recytowaniu kolejnych cyfr po przecinku liczby π. Wielu ludzi uważa to za dobrą zabawę oraz świetny sposób na poprawę pamięci. Obecny rekord Polski to ok. 8000 kolejnych cyfr wyrecytowanych z pamięci. Aktualny nieoficjalny rekord świata należy do Japończyka Akiry Haraguchi’ego, który w ciągu 16 godzin zdołał wyrecytować 111 701 kolejnych cyfr. Warto dodać, że w momencie bicia rekordu miał on 69 lat. Jak tego dokonał? Zastosował on bardzo sprytną mnemotechnikę (mnemotechnika to ogólna nazwa sposobów na zapamiętywanie informacji) – każdemu znakowi z japońskiego alfabetu przyporządkował on pewną cyfrę, po czym z całości utworzył prostą (przynajmniej dla niego) do zapamiętania historyjkę. Więcej o tym, czym są mnemotechniki i w jakim celu się je stosuje, możecie przeczytać na naszym blogu.

Ciekawe informacje o liczbie π

• W roku 1706 walijski matematyk William Jones wprowadził symbol π w monografii Synopsis palmariorum mathesos. Jest on pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον (perimetron)  oznaczającego obwód.
• W Warszawie w 2018 r. na bulwarach nad Wisłą powstał „żywy łańcuch rozwinięcia liczby Pi”. Utworzyło go 627 osób trzymających w dłoniach kartki z kolejnymi cyframi tej liczby.
• Jeżeli obwód podstawy piramidy Cheopsa podzielimy przez jej podwójną wysokość, uzyskamy liczbę Pi, czyli 3,1415.
• Wśród pierwszych 31 cyfr po przecinku nie znajduje się zero. Pojawia się ono dopiero na 32. miejscu po przecinku.

Podsumowanie

Liczba π fascynowała matematyków już od czasów starożytnych, a umiejętność dokładnego wyznaczania jej wartości bywała (i dalej jest) ważna w obliczeniach. Różnica między zaokrągleniami π ≈ 3 oraz π ≈ 3,14 może mieć ogromne znaczenie, jeśli np. zajmujemy się projektowaniem budynków. Naukowcy NASA do najdokładniejszych obliczeń stosują przybliżenie π ≈ 3,141592653589793 i uważają, że taka liczba cyfr po przecinku jest więcej niż wystarczająca. Po co więc matematycy tak się wysilają, aby szukać kolejnych rozwinięć dziesiętnych liczby π? Ano z tego samego powodu, dla którego inni ludzie starają się skoczyć jak najdalej na nartach albo przebiec 100 metrów w jak najkrótszym czasie – dla sławy, chwały i zabawy.

Na zakończenie pokażemy, że liczba Pi wykracza daleko poza sferę matematyki – jest ona również źródłem inspiracji dla wielu artystów, takich jak polska noblistka Wisława Szymborska.

Wisława Szymborska „Liczba Pi“

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe
pięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem,
osiem dziewięć obliczeniem,
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa.
Podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nie ostatnie siedem,
przynaglając, ach przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.

Materiały źródłowe