Skip to content

W artykule

Liczba 蟺 (liczba Pi) to sta艂a matematyczna definiowana jako stosunek obwodu ko艂a (d艂ugo艣ci okr臋gu) do d艂ugo艣ci jego 艣rednicy. Wyst臋puje ona przyk艂adowo we wzorze na pole ko艂a, pole powierzchni kuli czy obj臋to艣膰 kuli. Ma rozwini臋cie dziesi臋tne niesko艅czone i nieokresowe. Nazywana jest ludolfin膮 lub sta艂膮 Archimedesa.

22 lipca 鈥 Dzie艅 Aproksymacji Liczby Pi

Jak ju偶 zapewne wiecie, 14 marca obchodzimy Dzie艅 Liczby Pi. Trzy pierwsze znacz膮ce cyfry w zapisie 蟺 to 3,14, co w ameryka艅skim zapisie oznacza w艂a艣nie dat臋 14 marca (Amerykanie zapisuj膮 daty w nast臋puj膮cy spos贸b: miesi膮c-dzie艅-rok). Dzie艅 liczby Pi pierwszy raz zorganizowano w 1988 r. w San Francisco w muzeum nauki Exploratorium. Z tej okazji jeden z naukowc贸w, Larry Shaw, przechadza艂 si臋 po laboratorium i cz臋stowa艂 wsp贸艂pracownik贸w ciastem (w j臋zyku angielskim s艂owa pie, czyli 鈥榗iasto鈥 oraz Pi maj膮 tak膮 sam膮 wymow臋). Sk膮d zatem wzi臋艂a si臋 data 22 lipca (22.07)? O tym przeczytacie w kolejnej cz臋艣ci wpisu.

Liczba Pi - ciasto

Ryc. 1. Pi(e)

Przybli偶anie warto艣ci liczby 蟺

Wiemy, 偶e rozwini臋cie dziesi臋tne liczby 蟺 jest niesko艅czone i nieokresowe, a zatem nie mo偶emy zapisa膰 jej jako ci膮gu cyfr po przecinku w spos贸b, kt贸ry w pe艂ni odpowiada艂by rzeczywisto艣ci. Rekordzist膮 Guinnessa, kt贸ry poda艂 najwi臋ksz膮 liczb臋 cyfr po przecinku, jest Timothy Mullican z USA 鈥 wymieni艂 on rozwini臋cie dziesi臋tne do 50 000 000 000 000 cyfry po przecinku. Wykorzysta艂 w tym celu komputer oraz specjalnie przygotowane oprogramowanie. Ca艂a operacja trwa艂a 艂膮cznie 8 miesi臋cy; w dalszym ci膮gu jednak w ten spos贸b zapisana liczba nie by艂a r贸wna dok艂adnej warto艣ci 蟺.

Liczb臋 蟺 znano ju偶 w staro偶ytno艣ci, czyli w czasach, w kt贸rych (podobno) komputery jeszcze nie istnia艂y. W jaki spos贸b dawniej radzono sobie z przybli偶aniem jej warto艣ci?

Staro偶ytni Babilo艅czycy zauwa偶yli, 偶e obw贸d okr臋gu niewiele r贸偶ni si臋 od obwodu sze艣ciok膮ta wpisanego w ten okr膮g. Przyjmowali wi臋c, 偶e 蟺 = 3.

Archimedes w III w. p.n.e. zastosowa艂 inn膮 metod臋 鈥 obliczy艂 on obwody 96-k膮t贸w foremnych (wpisanego i opisanego na okr臋gu), a nast臋pnie wyznaczy艂 ich 艣redni膮 arytmetyczn膮. Uzyskany wynik wci膮偶 nie by艂 dok艂adny, ale okaza艂 si臋 o wiele dok艂adniejszy ni偶 wynik Babilo艅czyk贸w. Przyjmuje si臋, 偶e to w艂a艣nie Archimedes by艂 jedn膮 z  pierwszych os贸b, kt贸re dokona艂y przybli偶enia 蟺 = 22/7 (czyli ok. 3,14286) 鈥 st膮d te偶 wzi臋艂a si臋 nasza data. W 鈥瀗aszym鈥 zapisie mamy: dzie艅-miesi膮c-rok, czyli 22.07 to bardzo dobry dzie艅 na 艣wi臋towanie liczby 蟺.

Sze艣ciok膮t wpisany w okr膮g i sze艣ciok膮t opisany na okr臋gu

Ryc. 2. Sze艣ciok膮t wpisany w okr膮g i sze艣ciok膮t opisany na okr臋gu

Szkic pomys艂u Archimedesa 鈥 obw贸d okr臋gu jest wi臋kszy ni偶 obw贸d niebieskiego sze艣ciok膮ta oraz mniejszy od obwodu czerwonego sze艣ciok膮ta. Obw贸d okr臋gu przybli偶amy, obliczaj膮c 艣redni膮 arytmetyczn膮 obwod贸w obu sze艣ciok膮t贸w.

Spr贸bujmy zastosowa膰 t臋 metod臋 dla kwadratu. Przyjmijmy, 偶e 鈭2 鈮 1,41.

Kwadrat wpisany w okr膮g i kwadrat opisany na okr臋gu

Ryc. 3. Kwadrat wpisany w okr膮g i kwadrat opisany na okr臋gu

Obw贸d czerwonego kwadratu =
= 2 路 4 = 8
Obw贸d niebieskiego kwadratu =
= 1,41 路 4 = 5,64
艢rednia arytmetyczna obwod贸w =
= (8 + 5,64) : 2 = 6,82
艢rednia okr臋gu = 2
蟺 = 6,82 : 2 = 3,41

Uzyskana warto艣膰 jest jeszcze mniej dok艂adnym przybli偶eniem ni偶 warto艣膰 stosowana przez Babilo艅czyk贸w 鈥 w艂a艣nie dlatego Archimedes wykorzystywa艂 wielok膮ty o wi臋kszej liczbie bok贸w.

Mniej znane przybli偶enia liczby 蟺

W porz膮dku, ale od czas贸w Archimedesa do wsp贸艂czesno艣ci troch臋 ju偶 min臋艂o. Czy komu艣 uda艂o si臋 w tym okresie dokona膰 dok艂adniejszego przybli偶enia? Ot贸偶 tak. Metoda Archimedesa pozwala艂a wyznacza膰 liczb臋 蟺 teoretycznie z dowoln膮 dok艂adno艣ci膮 鈥 wystarczy艂o zamiast 96-k膮ta wzi膮膰 dowolny inny wielok膮t o wi臋kszej liczbie bok贸w. Dokona艂 tego m.in. chi艅ski uczony Liu Hui, konstruuj膮c 3072-k膮t i wyznaczaj膮c warto艣膰 liczby 蟺 z jeszcze wi臋ksz膮 dok艂adno艣ci膮: 蟺 鈮 3,1416.

Chi艅ski astronom Zu Chongzhi w V w. dokona艂 przybli偶enia 蟺 鈮 355/113 = 3,1415929203539鈥, a wi臋c poprawnie wyznaczy艂 6 pierwszych cyfr po przecinku (z tych liczb trudno by艂oby jednak utworzy膰 dat臋, kt贸ra 艂adnie wygl膮da艂aby w kalendarzu).

Z metody Archimedesa skorzysta艂 r贸wnie偶 w XVI w. Ludolph van Ceulen. Wyznaczy艂 on przybli偶enie 蟺 do 20. miejsca po przecinku. Zyska艂 tym czynem taki szacunek, 偶e na jego cze艣膰 liczb臋 蟺 zacz臋to nazywa膰 鈥瀕udolfin膮鈥.

Z biegiem czasu podawano jeszcze dok艂adniejsze przybli偶enia. Dla przyk艂adu, William Rutherford w XIX w. przedstawi艂 rozwini臋cie 蟺 do 440. cyfry po przecinku. A potem鈥 potem do g艂osu zacz臋艂y dochodzi膰 komputery, czego wynikiem jest 50 bilion贸w cyfr po przecinku, co by艂o ju偶 wspomniane wcze艣niej.

Czy istniej膮 jeszcze inne dni liczby 蟺?

Niekt贸rzy matematycy obchodz膮 r贸wnie偶 Dzie艅 Liczby Tau (蟿), czyli podwojonej liczby 蟺, kt贸ry przypada na 28 czerwca (poniewa偶 2蟺 鈮 6.28, a wi臋c wed艂ug ameryka艅skiego zapisu 鈥 28 czerwca). Czy to ju偶 wszystkie potencjalne dni, w czasie kt贸rych mo偶emy 艣wi臋towa膰 liczb臋 蟺? Ot贸偶 nie. Wiemy, 偶e rozwini臋cie dziesi臋tne ludolfiny jest niesko艅czone i nieokresowe, a wi臋c je艣li wybierzemy dowoln膮 sekwencj臋 cyfr, to mo偶emy mie膰 pewno艣膰, 偶e dok艂adnie taka sama sekwencja pojawi si臋 w rozwini臋ciu dziesi臋tnym liczby 蟺. We藕my dowoln膮 dat臋, np. 14 lutego. Dzi臋ki tej stronie [link] mo偶emy sprawdzi膰, w kt贸rym miejscu znajduje si臋 ci膮g znak贸w 1402 鈥 jest on na 4539. miejscu po przecinku. Nic wi臋c nie stoi na przeszkodzie, aby r贸wnie偶 14 lutego pomy艣le膰 o liczbie 蟺 i zje艣膰 z tej okazji kawa艂ek ciasta.

Ile cyfr rozwini臋cia dziesi臋tnego liczby 蟺 mo偶e zapami臋ta膰 ludzki m贸zg?

Na ca艂ym 艣wiecie organizowane s膮 konkursy w recytowaniu kolejnych cyfr po przecinku liczby 蟺. Wielu ludzi uwa偶a to za dobr膮 zabaw臋 oraz 艣wietny spos贸b na popraw臋 pami臋ci. Obecny rekord Polski to ok. 8000 kolejnych cyfr wyrecytowanych z pami臋ci. Aktualny nieoficjalny rekord 艣wiata nale偶y do Japo艅czyka Akiry Haraguchi鈥檈go, kt贸ry w ci膮gu 16 godzin zdo艂a艂 wyrecytowa膰 111 701 kolejnych cyfr. Warto doda膰, 偶e w momencie bicia rekordu mia艂 on 69 lat. Jak tego dokona艂? Zastosowa艂 on bardzo sprytn膮 mnemotechnik臋 (mnemotechnika to og贸lna nazwa sposob贸w na zapami臋tywanie informacji) 鈥 ka偶demu znakowi z japo艅skiego alfabetu przyporz膮dkowa艂 on pewn膮 cyfr臋, po czym z ca艂o艣ci utworzy艂 prost膮 (przynajmniej dla niego) do zapami臋tania historyjk臋. Wi臋cej o tym, czym s膮 mnemotechniki i w jakim celu si臋 je stosuje, mo偶ecie przeczyta膰 na naszym blogu.

Ciekawe informacje o liczbie 蟺

  • W roku 1706 walijski matematyk William Jones wprowadzi艂 symbol 蟺 w monografii Synopsis palmariorum mathesos. Jest on pierwsz膮 liter膮 greckiego s艂owa 蟺蔚蟻委渭蔚蟿蟻慰谓 (perimetron)  oznaczaj膮cego obw贸d.
  • W Warszawie w 2018 r. na bulwarach nad Wis艂膮 powsta艂 鈥偶ywy 艂a艅cuch rozwini臋cia liczby Pi鈥. Utworzy艂o go 627 os贸b trzymaj膮cych w d艂oniach kartki z kolejnymi cyframi tej liczby.
  • Je偶eli obw贸d podstawy piramidy Cheopsa podzielimy przez jej podw贸jn膮 wysoko艣膰, uzyskamy liczb臋 Pi, czyli 3,1415.
  • W艣r贸d pierwszych 31 cyfr po przecinku nie znajduje si臋 zero. Pojawia si臋 ono dopiero na 32. miejscu po przecinku.

Podsumowanie

Liczba 蟺 fascynowa艂a matematyk贸w ju偶 od czas贸w staro偶ytnych, a umiej臋tno艣膰 dok艂adnego wyznaczania jej warto艣ci bywa艂a (i dalej jest) wa偶na w obliczeniach. R贸偶nica mi臋dzy zaokr膮gleniami 蟺 鈮 3 oraz 蟺 鈮 3,14 mo偶e mie膰 ogromne znaczenie, je艣li np. zajmujemy si臋 projektowaniem budynk贸w. Naukowcy NASA do najdok艂adniejszych oblicze艅 stosuj膮 przybli偶enie 蟺 鈮 3,141592653589793 i uwa偶aj膮, 偶e taka liczba cyfr po przecinku jest wi臋cej ni偶 wystarczaj膮ca. Po co wi臋c matematycy tak si臋 wysilaj膮, aby szuka膰 kolejnych rozwini臋膰 dziesi臋tnych liczby 蟺? Ano z tego samego powodu, dla kt贸rego inni ludzie staraj膮 si臋 skoczy膰 jak najdalej na nartach albo przebiec 100 metr贸w w jak najkr贸tszym czasie 鈥 dla s艂awy, chwa艂y i zabawy.

Na zako艅czenie poka偶emy, 偶e liczba Pi wykracza daleko poza sfer臋 matematyki 鈥 jest ona r贸wnie偶 藕r贸d艂em inspiracji dla wielu artyst贸w, takich jak polska noblistka Wis艂awa Szymborska.

Wis艂awa Szymborska 鈥濴iczba Pi

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry te偶 s膮 pocz膮tkowe
pi臋膰 dziewi臋膰 dwa, poniewa偶 nigdy si臋 nie ko艅czy.
Nie pozwala si臋 obj膮膰 sze艣膰 pi臋膰 trzy pi臋膰 spojrzeniem,
osiem dziewi臋膰 obliczeniem,
siedem dziewi臋膰 wyobra藕ni膮,
a nawet trzy dwa trzy osiem 偶artem, czyli por贸wnaniem
cztery sze艣膰 do czegokolwiek
dwa sze艣膰 cztery trzy na 艣wiecie.
Najd艂u偶szy ziemski w膮偶 po kilkunastu metrach si臋 urywa.
Podobnie, cho膰 troch臋 p贸藕niej, czyni膮 w臋偶e bajeczne.
Korow贸d cyfr sk艂adaj膮cych si臋 na liczb臋 Pi
nie zatrzymuje si臋 na brzegu kartki,
potrafi ci膮gn膮膰 si臋 po stole, przez powietrze,
przez mur, li艣膰, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez ca艂膮 nieba wzd臋to艣膰 i bezdenno艣膰.
O, jak kr贸tki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak w膮t艂y promie艅 gwiazdy, 偶e zakrzywia si臋 w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy pi臋tna艣cie trzysta dziewi臋tna艣cie
m贸j numer telefonu tw贸j numer koszuli
rok tysi膮c dziewi臋膰set siedemdziesi膮ty trzeci sz贸ste pi臋tro
ilo艣膰 mieszka艅c贸w sze艣膰dziesi膮t pi臋膰 groszy
obw贸d w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w kt贸rym s艂owiczku m贸j a le膰, a piej
oraz uprasza si臋 zachowa膰 spok贸j,
a tak偶e ziemia i niebo przemin膮,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wci膮偶 swoje niez艂e jeszcze pi臋膰,
nie byle jakie osiem,
nie ostatnie siedem,
przynaglaj膮c, ach przynaglaj膮c gnu艣n膮 wieczno艣膰
do trwania.

Materia艂y 藕r贸d艂owe

Informacje

1. https://warszawa.naszemiasto.pl/rekord-guinnessa-pobity-warszawiacy-rozwineli-liczbe-pi/ar/c11-4571569
2. http://www.matematyka.wroc.pl/book/wis艂awa-szymborska%2C-%2526quot%3Bliczba-pi%2526quot%3B

Ilustracje
Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl