Ciągi

Matematyka towarzyszy nam w życiu codziennym w miejscach, w których często się jej nie spodziewamy. Rozważmy taką sytuację: Kasia, Jola i Kuba stanęli w kolejce po bilety w taki sposób, że Kasia stała pierwsza, a Kuba ostatni. Gdzie w takim zdarzeniu kryje się matematyka?

Otóż zauważmy, że każda z osób zajęła konkretne miejsce w kolejce: Kasia stała na pierwszym miejscu, Jola na drugim, Kuba na trzecim. W języku matematyki takie uporządkowanie nazwiemy ciągiem. Innym przykładem ciągu będzie alfabetyczna lista studentów w grupie ćwiczeniowej – każdy student zajmuje konkretne miejsce na liście nazwisk zgodnie z pewną zasadą – kolejnością alfabetyczną.

W matematyce większość rozpatrywanych ciągów to ciągi liczbowe, czyli takie, w których ustawiamy liczby w pewnej kolejności, np. możemy zapisać ciąg liczb pierwszych mniejszych od 11: 2, 3, 5, 7. Taki ciąg składa się z czterech elementów. Pierwszym wyrazem ciągu jest liczba 2, drugim wyrazem ciągu jest liczba 3, trzecim wyrazem ciągu jest liczba 5, czwartym wyrazem ciągu jest liczba 7.

Definicja

Ciągiem nazwiemy funkcję, której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych. W szczególności wyróżniamy:

• ciąg skończony – funkcję, której dziedziną jest skończony podzbiór początkowych liczb naturalnych dodatnich,
• ciąg nieskończony – funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wartości takiej funkcji nazywamy wyrazami ciągu. I tak, wartość dla argumentu 1 nazwiemy pierwszym wyrazem ciągu, wartość dla argumentu 2 nazwiemy drugim wyrazem ciągu itd. 

Funkcje na ogół oznacza się literami f, g, h, natomiast ciągi oznaczamy np. (a_ₙ), (b_ₙ), (cₙ).

Ciągi, podobnie jak inne funkcje, możemy zapisać za pomocą wzoru. Wówczas taki wzór nazywamy wyrazem ogólnym ciągu lub n-tym wyrazem ciągu. Rozważmy ciąg (aₙ), który każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje kwadrat tej liczby. Zapiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu:

a_1= 1  (pierwszy wyraz ciągu jest równy 1)
a_2 = 4  (drugi wyraz ciągu jest równy 4) 
a_3 = 9  (trzeci wyraz ciągu jest równy 9)
a_4 = 16, …  (czwarty wyraz ciągu jest równy 16)

Wzór ogólny tego ciągu jest postaci:
a_n = n^2  (n-ty wyraz jest równy n^2 )

Przykład

1. Ciąg dodatnich liczb naturalnych podzielnych przez 2, mniejszych od 11 (2, 4, 6, 8, 10) jest ciągiem skończonym pięcioelementowym. Kolejne wyrazy ciągu to:
a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 6, a_4 = 8, a_5 = 10

Wykres tego ciągu wygląda następująco:

2. Ciąg liczb nieparzystych jest ciągiem nieskończonym. Kolejne wyrazy ciągu to:
a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 5, a_4 = 7, a_5 = 9, …

Wykres tego ciągu wygląda następująco:

Ryc. 2. Wykres ciągu liczb nieparzystych

Sposoby określenia ciągu

1. Naszkicowanie wykresu
2. Przedstawienie w tabeli
3. Podanie wzoru na n-ty wyraz ciągu, np. a_n=\frac{2n}{3n+2}
4. Słowny, np. ciąg liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od 17. Jest to ciąg: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
5. Podanie kolejnych wyrazów ciągu, np. 1, 11, 111, 1111, …

Ćwiczenie 1.

Odgadnij regułę i podaj wyraz a_5​ i a_6​  ciągu: 3, -3, 3, -3, …

Rozwiązanie:
Łatwo zauważyć, że w powyższym ciągu powtarzają się na przemian liczby 3 i -3, więc:
a_5​ = 3
a_6​ = −3

Ćwiczenie 2.

Wyznaczyć wyrazy a_1, a_2, a_3 i a_4​ ciągu, którego wzór ogólny ma postać 

 a_n=2n+\frac{n-3}{3}

Rozwiązanie:
Żeby wyznaczyć wyraz a_1​ tego ciągu, w miejsce n we wzorze wstawiamy 1 i otrzymujemy:​

a_1=2 \cdot 1 + \frac{1-3}{3}=2- \frac{2}{3}=1 \frac{1}{3}

Podobnie postępujemy, wyliczając wyrazy a_2, a_3, a_4. Otrzymujemy:

a_2=2 \cdot 2 + \frac{2-3}{3}=4- \frac{1}{3}=3 \frac{2}{3}

a_3=2 \cdot 3 + \frac{3-3}{3}=6

a_4=2 \cdot 4 + \frac{4-3}{3}=8+ \frac{1}{3}=8 \frac{1}{3}

Ćwiczenie 3.

Zaznacz w układzie współrzędnych 4 początkowe wyrazy ciągu: 2, 3, 5, 7, 9, 11, …

Rozwiązanie:
Zauważmy, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 2, drugi wyraz ciągu jest równy 3, trzeci wyraz ciągu jest równy 5, czwarty wyraz ciągu jest równy 7. Do wykresu tego ciągu należą więc punkty (1,2), (2,3), (3,5), (4,7).
Zaznaczamy otrzymane punkty w układzie współrzędnych i dostajemy:

Ryc. 3. Wykres – jeden ze sposobów określania ciągu

Monotoniczność ciągu

Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli dla każdej liczby n ∈ N₊ spełniona jest nierówność:​

\bold{a_{n+1} < a_n}

Przykład 1.

Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym a_n ​= 2n − 4.
Otrzymujemy: -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, …

Każdy kolejny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego, czyli ten ciąg jest rosnący.

Ryc. 4. Wykres ciągu o wyrazie ogólnym a_n = 2_n – 4

Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli dla każdej liczby n ∈ N₊ spełniona jest nierówność:

a_{n+1} < a_n

Przykład 2.

Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym

a_n=\frac{1}{n}

Otrzymujemy:

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, …

Każdy kolejny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego, czyli ten ciąg jest malejący.

Ryc. 5.

Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy ciągu są równe.

Przykład 3.

Ciągiem stałym jest np. ciąg -1, -1, -1, -1, -1, -1, …

Ryc. 6.

Ciągami monotonicznymi są także ciągi: niemalejące i nierosnące. 

Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby n ∈ N₊ spełniona jest nierówność:

a_{n+1} \geq a_n

Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby n ∈ N₊ spełniona jest nierówność:

a_{n+1} \leq a_n

Ćwiczenie 1.

Wykaż, że ciąg a_n = n^2 - 1 jest rosnący.

Rozwiązanie:
Wyznaczamy wyraz a_{n + 1} (wystarczy wstawić n+1 w miejsce n):

a_n+1=(n+1)^2-1=

=n^2+2n+1-1=n^2+2n

Następnie badamy znak różnicy:

a_n+1-a_n=n^2+2n-(n^2-1)=

=2n+1>0,  n ∈N+

​

Widzimy więc, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

a_{n+1}-a_n > 0

skąd mamy:

a_{n+1} > a_n

czyli ten ciąg jest rosnący.

Ćwiczenie 2.

Wykaż, że ciąg a_n ​= 17 − 8n jest malejący.

Rozwiązanie:
Wyznaczamy wyraz a_{n + 1}​(wystarczy wstawić n + 1 w miejsce n):

a_n+1=17-8(n+1)=17-8n-8=9-8n

Następnie badamy znak różnicy:

a_n+1-a_n=9-8n-(17-8n)=

=9-8n-17+8n=-8<0

Widzimy więc, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

a_n+1-a_n<0

skąd mamy:

a_n+1< a_n

czyli  ten ciąg jest malejący.

Ćwiczenie 3.

Wykaż, że ciąg a_n ​= 2 \cdot (−1)^n nie jest monotoniczny.

Rozwiązanie:
Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu:

a_1=2\cdot(-1)^1=-2

a_2=2\cdot(-1)^2=2

a_3=2\cdot(-1)^3=-2

a_4=2\cdot(-1)^4=2

Zauważmy, że drugi wyraz ciągu jest większy od pierwszego (a_2 > a_1), ale trzeci wyraz ciągu jest mniejszy od drugiego (a_3 ​< a_2), czyli ten ciąg nie jest monotoniczny.

Ciąg Fibonacciego

Spośród różnych ciągów liczbowych jest jeden, który zasługuje na szczególną uwagę – ciąg Fibonacciego. Każdy kolejny wyraz tego ciągu  (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich wyrazów. Wypiszmy kilka początkowych wyrazów ciągu:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Ciąg ten Fibonacci omówił w dziele „Liber Abaci”  jako odniesienie do następującego zadania:

Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli (1) każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, a ta nowa para staje się płodna w następnym miesiącu; (2) króliki nie zdychają?

Ryc. 7. Fibonacci –  Leonardo z Pizy (ok. 1180-1250), włoski matematyk

Liczby Fibonacciego (czyli wyrazy ciągu Fibonacciego) mają bardzo dużo interesujących własności. Np. w przyrodzie liczby płatków kwiatów wyrażają się liczbami Fibonacciego, układy liści na gałęziach oraz spiralny układ roślin mają związek z tymi liczbami.

Zobacz też:

Ciąg arytmetyczny (czytaj)