Ciąg arytmetyczny

Definicja ciągu arytmetycznego

Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli każdy wyraz tego ciągu oprócz pierwszego powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej ustalonej liczby r. Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. 

Ciągi (czytaj)

Przykład 1.

Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) o pierwszym wyrazie a_1= 7 i różnicy r = 1.

Otrzymujemy:

a_2=a_1+r=7+1=8

a_3=a_2+r=8+1=9

a_4=a_3+r=9+1=10

a_5=a_4+r=10+1=11

Przykład 2.

Wyznaczymy różnicę ciągu arytmetycznego: 8, 14, 20, 26, 32, …

Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a_1 = 8, drugim wyrazie a_2 = 14, trzecim wyrazie a_3 = 20, itd.
Zatem, żeby wyznaczyć różnicę r tego ciągu, należy obliczyć różnicę dwóch sąsiednich wyrazów (pamiętając, by od następnego odejmować wyraz poprzedni), czyli np. mamy:

r=a_2-a_1=14-8=6

Różnica w tym ciągu jest równa r = 6.  

Przykład 3.

Sprawdzimy, czy ciąg określony wzorem a_n = 3_n + 7 jest arytmetyczny.

Wyznaczamy wyraz a_{n+1} (wystarczy, że we wzorze w miejsce n wstawimy n + 1):

a_{n+1}=3(n+1)+7=

=3n+3+7=3n+10

a następnie zapisujemy różnicę a_{n+1}- a_n:

a_{n+1}-a_n=3n+10-(3n+7)=

=3n+10-3n-7=3

Otrzymana różnica jest stała (nie zależy od n), czyli ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, w którym r = 3.

Żeby zbadać, czy ciąg (a_n) jest arytmetyczny, należy sprawdzić, czy różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest stała dla każdego n ∈ N_+.

Przykład 4.

Obliczymy dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n) o pierwszym wyrazie a_1= 2 i różnicy r = 5. 

a_1=2

a_2=a_1+r=2+5=7

a_3=a_2+r= (a_1+r)+r=

=a_1+2r=2+2 \cdot 5=12

a_4=a_3+r=(a_1+2r)+r=

=a_1+3r=2+3 \cdot 5=17

…

a_{10}=a_1+9r=2+9 \cdot 5=

=2+45=47

Każdy wyraz tego ciągu – oprócz pierwszego – powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej ustalonej liczby r = 5. Zatem dziesiąty wyraz ciągu  otrzymamy, dodając do pierwszego wyrazu dziewięć razy różnicę r:

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

W nawiązaniu do powyższego przykładu widzimy, że wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a_n) o różnicy r ma postać:

a_n = a_1 + (n−1) \cdot r
gdzie n jest dodatnią liczbą naturalną

Ćwiczenie 1.

Ciąg (4, 2, 0, …) jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym. Wyznacz jego piętnasty wyraz.

Rozwiązanie:
Zauważmy, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 4, a różnica r w tym ciągu jest równa:

r=a_2-a_1=2-4=-2

Zatem, korzystając ze wzoru ogólnego, możemy wyznaczyć piętnasty wyraz tego ciągu. Otrzymujemy:

a_{15}=a_1+(15-1) \cdot r=

=4+14 \cdot (-2)=4-28=-24

Ćwiczenie 2.

Wiedząc, że ciąg (a_n) jest arytmetyczny oraz a_3 = 10, a_7 = 4, wyznacz pierwszy wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu.

Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego, otrzymujemy:

1)\  a_3=a_1+(3-1) \cdot r

10=a_1+2r

2)\ a_7=a_1+(7-1) \cdot r

4 = a_1+6r

Z powyższych warunków dostajemy układ równań w postaci:

\begin{cases}
10=a_1+2r  \\
4=a_1+6r
\end{cases}

\begin{cases}
a_1=10-2r  \\
4=10-2r+6r
\end{cases}

\begin{cases}
a_1=10-2r \\
-6=4r \ |:4
\end{cases}

\begin{cases}
a_1=10-2r  \\
r= - \frac{3}{2}
\end{cases}

\begin{cases}
a_1=10-2 \cdot (- \frac{3}{2})=13  \\
r= - \frac{3}{2}
\end{cases}

Pierwszy wyraz ciągu jest równy 13, różnica jest równa -\frac{3}{2}.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Zajmiemy się teraz monotonicznością ciągu arytmetycznego.
Zgodnie z definicją, dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

a_{n+1}-a_n=r

Zatem:

Ćwiczenie

Określić monotoniczność ciągu arytmetycznego: -1, 3, 7, 11, …

Rozwiązanie:
Różnica r tym ciągu jest równa:

r=a_2-a_1=3-(-1)=

=3+1=4>0

czyli jest to ciąg rosnący.

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Zgodnie z definicją ciągu arytmetycznego, różnice między kolejnymi wyrazami ciągu są równe, czyli dla każdej liczby naturalnej n większej od 1 zachodzi:

a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}

Przekształcając, otrzymujemy:

a_{n+1}+a_{n-1}=2a_n \ |:2

\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2} =a_n

Czyli każdy wyraz ciągu arytmetycznego (poza pierwszym i ewentualnie ostatnim) jest średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów – stąd też pochodzi nazwa tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym (a_n) każdy wyraz (oprócz pierwszego i ewentualnie ostatniego) jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów:

\large \mathbf{a_n= \frac{a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}}, \small n>1

Ćwiczenie

Wyznaczyć wartość x, dla której liczby 10, x ,-4 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie:
Korzystając z faktu, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów, otrzymujemy:

x= \frac{10+(-4)}{2}= \frac{6}{2}=3

Zatem dla x = 3 ten ciąg jest arytmetyczny.

Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Jak (szybko) zsumować liczby naturalne od 51 do 150?
Wszystkich liczb od 51 do 150 jest łącznie:

150-51+1=100

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi:

Łatwo zauważyć, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest taka sama, jak suma drugiej i przedostatniej liczby itd. Zapisanych liczb jest 100, więc łącznie otrzymujemy 50 par liczb, których suma jest równa 201. Zatem suma wszystkich liczb naturalnych od 51 do 150 jest równa:
201\cdot 50 = 10 050.

Powyższa metoda szybkiego sumowania liczb naturalnych przypisywana jest niemieckiemu matematykowi Gaussowi, który według anegdoty na lekcji matematyki zsumował w ten sposób liczby naturalne od 1 do 40 (powszechnie przyjętą metodą było wówczas dodawanie kolejnych liczb jedna po drugiej).

Ryc. 1. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) zyskał miano „Księcia Matematyków”, obok Archimedesa i Newtona uważany za jednego z najwybitniejszych matematyków wszech czasów).

Rozumując w podobny sposób, możemy wyprowadzić wzory na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Ćwiczenie 1.

Obliczyć sumę liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 10.

Rozwiązanie:
Wypiszmy naturalne liczby dwucyfrowe podzielne przez 10:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
Liczby dwucyfrowe podzielne przez 10 tworzą dziewięciowyrazowy ciąg arytmetyczny, w którym a_1= r = 10, a_9 = 90.
Zatem, korzystając ze wzoru (1), widzimy, że suma tych dziewięciu liczb jest równa:

S_9= \frac{10+90}{2} \cdot 9=

= \frac{100}{2} \cdot 9=50 \cdot 9 = 450

Ćwiczenie 2.

O ciągu arytmetycznym wiadomo, że a_1 = -20, r = 7, S_n = 11 190. Obliczyć n.

Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru (2), dostajemy:

S_n= \frac{2a_1+(n-1) \cdot r}{2} \cdot n

11 190= \frac{2 \cdot (-20)+(n-1) \cdot 7}{2} \cdot n

11 190= \frac{-40+7n-7}{2} \cdot n

11 190= \frac{-47+7n}{2} \cdot n\;\;\;\;\;|\cdot 2

22 380=(-47+7n) \cdot n

22 380=-47n+7n^2

-7n^2+47n+22 380=0

\Delta=2209-4 \cdot (-7) \cdot 22 380=

=2209+626 640=628 849

\sqrt{\Delta}=793

n_1=\frac{-47-793}{-14}=60 \in N_+

n_2=\frac{-47+793}{-14}=\frac{373}{7} \notin N_+

czyli:

n=60