Skip to content

Ci膮g arytmetyczny

W artykule

Definicja ci膮gu arytmetycznego

Ci膮g liczbowy聽(a_n)聽nazywamy ci膮giem arytmetycznym, je偶eli ka偶dy wyraz tego ci膮gu opr贸cz pierwszego powstaje przez聽dodanie do聽wyrazu poprzedniego tej聽samej ustalonej liczby聽r. Liczb臋聽r聽nazywamy r贸偶nic膮 ci膮gu arytmetycznego.聽

Ci膮gi (czytaj)

Przyk艂ad 1.

Wypiszemy kilka pocz膮tkowych wyraz贸w ci膮gu arytmetycznego (a_n) o pierwszym wyrazie a_1= 7 i r贸偶nicy r = 1.

Otrzymujemy:

a_2=a_1+r=7+1=8
a_3=a_2+r=8+1=9
a_4=a_3+r=9+1=10
a_5=a_4+r=10+1=11

Przyk艂ad 2.

Wyznaczymy r贸偶nic臋 ci膮gu arytmetycznego: 8, 14, 20, 26, 32, 鈥

Jest to ci膮g o pierwszym wyrazie a_1聽= 8, drugim wyrazie a_2聽= 14, trzecim wyrazie a_3聽= 20, itd.
Zatem, 偶eby wyznaczy膰 r贸偶nic臋 r tego ci膮gu, nale偶y obliczy膰 r贸偶nic臋 dw贸ch s膮siednich wyraz贸w (pami臋taj膮c, by od nast臋pnego odejmowa膰 wyraz poprzedni), czyli np. mamy:

r=a_2-a_1=14-8=6

R贸偶nica w tym ci膮gu jest r贸wna r = 6 


Przyk艂ad 3.

Sprawdzimy, czy ci膮g okre艣lony wzorem a_n = 3_n + 7 jest arytmetyczny.

Wyznaczamy wyraz a_{n+1} (wystarczy, 偶e we wzorze w miejsce n wstawimy n + 1):

a_{n+1}=3(n+1)+7=
=3n+3+7=3n+10

a nast臋pnie zapisujemy r贸偶nic臋 a_{n+1}- a_n:

a_{n+1}-a_n=3n+10-(3n+7)=
=3n+10-3n-7=3

Otrzymana r贸偶nica jest sta艂a (nie zale偶y od n), czyli ci膮g (a_n) jest ci膮giem arytmetycznym, w kt贸rym r = 3.

呕eby zbada膰, czy ci膮g (a_n) jest arytmetyczny, nale偶y sprawdzi膰, czy r贸偶nica mi臋dzy kolejnymi wyrazami ci膮gu jest sta艂a dla ka偶dego n聽鈭 N_+.


Przyk艂ad 4.

Obliczymy dziesi膮ty wyraz ci膮gu arytmetycznego (a_n) o pierwszym wyrazie a_1= 2 i r贸偶nicy r = 5

a_1=2
a_2=a_1+r=2+5=7
a_3=a_2+r= (a_1+r)+r=
=a_1+2r=2+2 \cdot 5=12
a_4=a_3+r=(a_1+2r)+r=
=a_1+3r=2+3 \cdot 5=17

a_{10}=a_1+9r=2+9 \cdot 5=
=2+45=47

Ka偶dy wyraz tego ci膮gu 鈥 opr贸cz pierwszego 鈥 powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej ustalonej liczby r = 5. Zatem dziesi膮ty wyraz ci膮gu  otrzymamy, dodaj膮c do pierwszego wyrazu dziewi臋膰 razy r贸偶nic臋 r:

Wz贸r og贸lny ci膮gu arytmetycznego

W nawi膮zaniu do powy偶szego przyk艂adu widzimy, 偶e wz贸r og贸lny ci膮gu arytmetycznego (a_n) o r贸偶nicy r ma posta膰:

a_n = a_1 + (n鈭1) \cdot r
gdzie n jest dodatni膮 liczb膮 naturaln膮

膯wiczenie 1.

Ci膮g (4, 2, 0, …) jest niesko艅czonym ci膮giem arytmetycznym. Wyznacz jego pi臋tnasty wyraz.

Rozwi膮zanie:
Zauwa偶my, 偶e pierwszy wyraz tego ci膮gu jest r贸wny 4, a r贸偶nica r w tym ci膮gu jest r贸wna:

r=a_2-a_1=2-4=-2

Zatem, korzystaj膮c ze wzoru og贸lnego, mo偶emy wyznaczy膰 pi臋tnasty wyraz tego ci膮gu. Otrzymujemy:

a_{15}=a_1+(15-1) \cdot r=
=4+14 \cdot (-2)=4-28=-24

膯wiczenie 2.

Wiedz膮c, 偶e ci膮g (a_n) jest arytmetyczny oraz a_3聽= 10,聽a_7聽= 4, wyznacz pierwszy wyraz a_1 i r贸偶nic臋 r tego ci膮gu.

Rozwi膮zanie:
Korzystaj膮c ze wzoru og贸lnego ci膮gu arytmetycznego, otrzymujemy:

1)\  a_3=a_1+(3-1) \cdot r
10=a_1+2r
2)\ a_7=a_1+(7-1) \cdot r
4 = a_1+6r

Z powy偶szych warunk贸w dostajemy uk艂ad r贸wna艅 w postaci:

\begin{cases}
10=a_1+2r  \\
4=a_1+6r
\end{cases}
\begin{cases}
a_1=10-2r  \\
4=10-2r+6r
\end{cases}
\begin{cases}
a_1=10-2r \\
-6=4r \ |:4
\end{cases}
\begin{cases}
a_1=10-2r  \\
r= - \frac{3}{2}
\end{cases}
\begin{cases}
a_1=10-2 \cdot (- \frac{3}{2})=13  \\
r= - \frac{3}{2}
\end{cases}

Pierwszy wyraz ci膮gu jest r贸wny 13, r贸偶nica jest r贸wna -\frac{3}{2}.

Monotoniczno艣膰 ci膮gu arytmetycznego

Zajmiemy si臋 teraz monotoniczno艣ci膮 ci膮gu arytmetycznego.
Zgodnie z definicj膮, dla ka偶dej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

a_{n+1}-a_n=r

Zatem:

Ci膮g arytmetyczny (a_n) jest rosn膮cy, gdy r > 0;
Ci膮g arytmetyczny (a_n) jest malej膮cy, gdy r < 0;
Ci膮g arytmetyczny (a_n) jest sta艂y, gdy r = 0.

膯wiczenie

Okre艣li膰 monotoniczno艣膰 ci膮gu arytmetycznego: -1, 3, 7, 11, 鈥

Rozwi膮zanie:
R贸偶nica聽r tym ci膮gu jest r贸wna:

r=a_2-a_1=3-(-1)=
=3+1=4>0


czyli jest to ci膮g rosn膮cy.

Zale偶no艣膰 mi臋dzy trzema kolejnymi wyrazami ci膮gu arytmetycznego

Zgodnie z definicj膮 ci膮gu arytmetycznego, r贸偶nice mi臋dzy kolejnymi wyrazami ci膮gu s膮 r贸wne, czyli dla ka偶dej liczby naturalnej n wi臋kszej od 1 zachodzi:

a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}

Przekszta艂caj膮c, otrzymujemy:

a_{n+1}+a_{n-1}=2a_n \ |:2
\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2} =a_n

Czyli ka偶dy wyraz ci膮gu arytmetycznego (poza pierwszym i ewentualnie ostatnim) jest 艣redni膮 arytmetyczn膮 s膮siednich wyraz贸w 鈥 st膮d te偶 pochodzi nazwa tego ci膮gu.

膯wiczenie

Wyznaczy膰 warto艣膰 x, dla kt贸rej liczby 10, x聽,-4 tworz膮 w podanej kolejno艣ci ci膮g arytmetyczny.

Rozwi膮zanie:
Korzystaj膮c z faktu, 偶e ka偶dy wyraz ci膮gu arytmetycznego jest 艣redni膮 arytmetyczn膮 s膮siednich wyraz贸w, otrzymujemy:

x= \frac{10+(-4)}{2}= \frac{6}{2}=3

Zatem dla x = 3 ten ci膮g jest arytmetyczny.

Suma pocz膮tkowych wyraz贸w ci膮gu arytmetycznego

Jak (szybko) zsumowa膰 liczby naturalne od 51 do 150?
Wszystkich liczb od 51 do 150 jest 艂膮cznie:

150-51+1=100


Przyjrzyjmy si臋 poni偶szemu rysunkowi:

艁atwo zauwa偶y膰, 偶e suma pierwszej i ostatniej liczby jest taka sama, jak suma drugiej i przedostatniej liczby itd. Zapisanych liczb jest 100, wi臋c 艂膮cznie otrzymujemy 50 par liczb, kt贸rych suma jest r贸wna 201. Zatem suma wszystkich liczb naturalnych od 51 do 150 jest r贸wna:
201\cdot 50 = 10 050.

Powy偶sza metoda szybkiego sumowania liczb naturalnych przypisywana jest niemieckiemu matematykowi Gaussowi, kt贸ry wed艂ug anegdoty na lekcji matematyki zsumowa艂 w ten spos贸b liczby naturalne od 1 do 40 (powszechnie przyj臋t膮 metod膮 by艂o w贸wczas dodawanie kolejnych liczb jedna po drugiej).

Rysunek przedstawiaj膮cy Carla Friedricha Gaussa

Ryc. 1. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) zyska艂 miano 鈥濳si臋cia Matematyk贸w鈥, obok Archimedesa i Newtona uwa偶any za jednego z najwybitniejszych matematyk贸w wszech czas贸w).

Rozumuj膮c w podobny spos贸b, mo偶emy wyprowadzi膰 wzory na sum臋 n pocz膮tkowych wyraz贸w ci膮gu arytmetycznego.

Suma n聽(n聽鈭 N_+) pocz膮tkowych wyraz贸w ci膮gu arytmetycznego (a_n) jest wyra偶ana wzorem:

\large \mathbf{S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n} \small \ (1)

(suma n pocz膮tkowych wyraz贸w ci膮gu arytmetycznego jest r贸wna 艣redniej arytmetycznej pierwszego i n-tego wyrazu pomno偶onej przez liczb臋 wyraz贸w)

lub r贸wnowa偶nie:

\large \mathbf{S_n= \frac{2a_1+(n-1) \cdot r}{2} \cdot n} \small \ (2)

(powy偶szy wz贸r powstaje po wstawieniu w miejsce a_n聽= a_1聽+ (n-1)聽\cdot r)

膯wiczenie 1.

Obliczy膰 sum臋 liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 10.

Rozwi膮zanie:
Wypiszmy naturalne liczby dwucyfrowe podzielne przez 10:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
Liczby dwucyfrowe podzielne przez 10 tworz膮 dziewi臋ciowyrazowy ci膮g arytmetyczny, w kt贸rym a_1= r = 10,聽a_9聽= 90.
Zatem, korzystaj膮c ze wzoru (1), widzimy, 偶e suma tych dziewi臋ciu liczb jest r贸wna:

S_9= \frac{10+90}{2} \cdot 9=
= \frac{100}{2} \cdot 9=50 \cdot 9 = 450

膯wiczenie 2.

O ci膮gu arytmetycznym wiadomo, 偶e a_1聽= -20,聽r = 7,聽S_n聽= 11 190. Obliczy膰 n.

Rozwi膮zanie:
Korzystaj膮c ze wzoru (2), dostajemy:

S_n= \frac{2a_1+(n-1) \cdot r}{2} \cdot n
11 190= \frac{2 \cdot (-20)+(n-1) \cdot 7}{2} \cdot n
11 190= \frac{-40+7n-7}{2} \cdot n
11 190= \frac{-47+7n}{2} \cdot n\;\;\;\;\;|\cdot 2
22 380=(-47+7n) \cdot n
22 380=-47n+7n^2
-7n^2+47n+22 380=0
\Delta=2209-4 \cdot (-7) \cdot 22 380=
=2209+626 640=628 849
\sqrt{\Delta}=793
n_1=\frac{-47-793}{-14}=60 \in N_+
n_2=\frac{-47+793}{-14}=\frac{373}{7} \notin N_+

czyli:

n=60

Utrwal wiedz臋

Poni偶ej znajduj膮 si臋 zadania wraz z odpowiedziami, do rozwi膮zania kt贸rych wykorzystano wiedz臋 zaprezentowan膮 w tym artykule.

Zadanie 1. Zadanie 2.

Czytaj wi臋cej

Najnowsze posty z kategorii Ci膮gi

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl