Skip to content

Wzory skr贸conego mno偶enia stopnia 2

W artykule

Wzory skr贸conego mno偶enia usprawniaj膮 wykonywanie oblicze艅 algebraicznych. Pozwalaj膮 m.in. na rozk艂adanie wyra偶e艅 algebraicznych na czynniki oraz usuwanie niewymierno艣ci z mianownika u艂amka. Poni偶ej zosta艂y zebrane wzory skr贸conego mno偶enia stopnia drugiego obowi膮zuj膮ce na poziomie podstawowym.

Kwadrat sumy dw贸ch wyra偶e艅

Zapis s艂owny: Kwadrat sumy dw贸ch wyra偶e艅 jest r贸wny sumie kwadrat贸w pierwszego i drugiego wyra偶enia powi臋kszonej o podwojony iloczyn obu wyra偶e艅. 

Geometryczne uzasadnienie wzoru:

Kwadrat o boku d艂ugo艣ci (a + b) mo偶emy podzieli膰 na dwa mniejsze kwadraty o polach a虏 i b虏 oraz dwa prostok膮ty o polu ab.

Pole kwadratu jest r贸wne sumie p贸l czterech otrzymanych cz臋艣ci, czyli: (a + b)虏 = a虏 + 2ab + b虏.

Przyk艂ad

U偶ywaj膮c wzoru skr贸conego mno偶enia na kwadrat sumy, zapiszemy wyra偶enie (x + 4)虏 w postaci sumy algebraicznej:

Przyk艂ad

U偶ywaj膮c wzoru skr贸conego mno偶enia na kwadrat sumy, zapiszemy wyra偶enie (鈭6 + 3)虏 w postaci sumy algebraicznej:

(鈭6 + 3)虏 = (鈭6)虏 + 2 路 鈭6 路 3虏 = 6 + 6鈭6 + 9 = 15 + 6鈭6

Uwaga

Kiedy stosujemy wz贸r skr贸conego mno偶enia na kwadrat sumy dw贸ch wyra偶e艅, to pami臋tajmy, 偶e nie musz膮 by膰 one wyra偶eniami dodatnimi.

Np. je艣li chcemy obliczy膰 warto艣膰 wyra偶enia (y 鈥 3)虏, korzystaj膮c ze wzoru na kwadrat sumy, to zauwa偶ymy, 偶e podnosz膮c do kwadratu r贸偶nic臋 (y 鈥 3) mo偶emy zapisa膰 w postaci sumy (y + (-3)) i wtedy otrzymujemy:

(y 鈥 3)虏 = (y + (-3))虏 = y虏 + 2 路 y 路 (-3) + (-3)虏 = y虏 – 6y + 9

Uwaga

Powy偶szy wz贸r mo偶emy r贸wnie偶 stosowa膰 w przypadku, gdy chcemy zapisa膰 w postaci sumy algebraicznej wyra偶enie (鈭3 + 鈭5 + 4)虏; wystarczy, 偶e zapiszemy je np. w postaci ((鈭3 + 鈭5 )+ 4)虏. Wtedy otrzymujemy:

(鈭3 + 鈭5 + 4)虏 = ((鈭3 + 鈭5)+ 4)虏 = (鈭3 + 鈭5)虏 + 2 路 (鈭3 + 鈭5) 路 4 + 4

Kwadrat r贸偶nicy dw贸ch wyra偶e艅

(a 鈥 b)虏 = a虏 鈥 2ab + b虏

Zapis s艂owny: Kwadrat r贸偶nicy dw贸ch wyra偶e艅 jest r贸wny sumie kwadrat贸w pierwszego i drugiego wyra偶enia pomniejszonej o podwojony iloczyn obu wyra偶e艅. 

Geometryczne uzasadnienie wzoru:

Kwadrat o boku d艂ugo艣ci a dzielimy tak jak na powy偶szym rysunku (a > b).
Pole kwadratu jest r贸wne P = a虏.

Zauwa偶my, 偶e pole rozwa偶anego czworok膮ta mo偶emy tak偶e policzy膰 w nast臋puj膮cy spos贸b: do pola kwadratu o boku d艂ugo艣ci (a 鈥 b) dodajemy pola dw贸ch prostok膮t贸w o wymiarach a x b i odejmujemy pole kwadratu o boku d艂ugo艣ci b (gdy偶 pole tego kwadratu policzyli艣my dwa razy).
P = (a 鈥 b)虏 + 2ab 鈥 b虏

Z obu r贸wno艣ci otrzymujemy:
a虏 = (a 鈥 b)虏 + 2ab 鈥 b虏
a虏 -2ab + b虏 = (a 鈥 b)虏

Przyk艂ad

U偶ywaj膮c wzoru skr贸conego mno偶enia na kwadrat r贸偶nicy, zapiszemy wyra偶enie (2x 鈥 5)虏 w postaci sumy algebraicznej:

(2x 鈥 5)虏 = (2x)虏 鈥 2 路 2x 路 5 + 5虏 = 4x虏 鈥 20x + 25

Przyk艂ad

U偶ywaj膮c wzoru skr贸conego mno偶enia na kwadrat r贸偶nicy, zapiszemy wyra偶enie (3鈭8 鈥 7鈭2)虏 w postaci sumy algebraicznej:

(3鈭8 鈥 7鈭2)虏 = (3鈭8)虏 鈥 2 路 3鈭8 路 7鈭2 + (7鈭2)虏 = 9 路 8 鈥 42鈭16 + 49 路 2 = 72 鈥 42 路 4 + 98 = 170 鈥 168 = 2

R贸偶nica kwadrat贸w dw贸ch wyra偶e艅

a虏 鈥 b虏 = (a + b)(a 鈥 b)

Zapis s艂owny: R贸偶nica kwadrat贸w dw贸ch wyra偶e艅 jest r贸wna iloczynowi sumy i r贸偶nicy tych wyra偶e艅. 

Geometryczne uzasadnienie wzoru:

Pole prostok膮ta o bokach d艂ugo艣ci (a + b) i (a 鈥 b) (偶贸艂ty prostok膮t) jest r贸wne polu kwadratu o boku d艂ugo艣ci a pomniejszonemu o pole kwadratu o boku d艂ugo艣ci b, czyli: (a + b)(a 鈥 b) = a虏 鈥 b虏.

Przyk艂ad

U偶ywaj膮c wzoru skr贸conego mno偶enia na r贸偶nic臋 kwadrat贸w, zapiszemy wyra偶enie (3 鈥 2x)(3 + 2x) w postaci sumy algebraicznej:

(3 鈥 2x)(3 + 2x) = 3虏 鈥 (2x)虏 = 9 鈥 4x虏

Przyk艂ad

U偶ywaj膮c wzoru skr贸conego mno偶enia na r贸偶nic臋 kwadrat贸w, zapiszemy wyra偶enie (2a鈭8 + 3)(2a鈭8 鈥 3) w postaci sumy algebraicznej:

(2a鈭8 3)(2a鈭8 鈥 3) = (2a鈭8)虏 鈥 3虏 = 4a虏 路 8 鈥 9 = 32a虏 鈥 9

Do tej pory rozwa偶ali艣my przyk艂ady, w kt贸rych przekszta艂cali艣my iloczyny na sumy algebraiczne. Jednak wzor贸w skr贸conego mno偶enia mo偶emy u偶ywa膰, wykonuj膮c operacj臋 odwrotn膮, czyli gdy chcemy zapisa膰 podan膮 sum臋 algebraiczn膮 w postaci iloczynu.

Prze艣led藕my to na przyk艂adach.

Przyk艂ad

Roz艂o偶ymy wyra偶enie 4 + 4m + m虏 na czynniki.
Zauwa偶my, 偶e w podanym wyra偶eniu mamy sum臋 kwadrat贸w 2 i m powi臋kszon膮 o podwojony iloczyn liczb 2 i m, czyli korzystaj膮c ze wzoru skr贸conego mno偶enia na kwadrat sumy, otrzymujemy:

4 + 4m + m虏 = 2虏 + 2 路 2 路 m + m虏 = (2 + m)虏

Przyk艂ad

Roz艂o偶ymy wyra偶enie 25x虏 + 1 + 10x na czynniki.
Zauwa偶my, 偶e 25x虏 = (5x)虏, wi臋c w podanym wyra偶eniu mamy sum臋 kwadrat贸w (5x)虏 i 1虏 powi臋kszon膮 o podwojony iloczyn liczb 5x i 1, czyli korzystaj膮c ze wzoru skr贸conego mno偶enia na kwadrat r贸偶nicy, mamy:

25x虏 + 1 + 10x = (5x)虏 + 2 路 5x 路 1 + 1虏 = (5x + 1)虏

Przyk艂ad

Roz艂o偶ymy wyra偶enie 36y虏 鈥 81 na czynniki.
Zauwa偶my, 偶e 36y虏 = (6y)虏 oraz 9虏 = 81 wi臋c podane wyra偶enie jest r贸偶nic膮 kwadrat贸w (6y)虏 i 9虏, czyli korzystaj膮c ze wzoru skr贸conego mno偶enia na r贸偶nic臋 kwadrat贸w dostajemy:

36y虏 鈥 81 = (6y)虏 鈥 9虏 = (6y 鈥 9)(6y + 9)

Usuwanie niewymierno艣ci z mianownika

Korzystaj膮c ze wzor贸w skr贸conego mno偶enia, mo偶emy tak偶e usuwa膰 niewymierno艣ci z mianownika u艂amka, co ilustruje poni偶szy przyk艂ad.

Przyk艂ad

Usuniemy niewymierno艣膰 z mianownika u艂amka:

\dfrac{5}{\sqrt{7} + 1}

W mianowniku powy偶szego u艂amka mamy sum臋 liczb 鈭7 i 1.
Zauwa偶my, 偶e je艣li pomno偶ymy j膮 przez r贸偶nic臋 tych samych liczb, czyli przez 鈭7 鈥 1, to zgodnie ze wzorem skr贸conego mno偶enia na r贸偶nic臋 kwadrat贸w, otrzymamy:

(鈭7 + 1)(鈭7 鈥 1) = 鈭7虏 鈥 1虏 = 7 鈥 1 = 6

Otrzymana liczba jest wymierna, co oznacza, 偶e je艣li licznik i mianownik podanego u艂amka pomno偶ymy przez (鈭7 鈥 1), to usuniemy z jego mianownika niewymierno艣膰. Dostajemy:

\dfrac{5 \cdot (\sqrt{7} - 1)}{(\sqrt{7} + 1) \cdot (\sqrt{7} - 1)} = \dfrac{5\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7^2} - 1^2} = \dfrac{5\sqrt{7} - 5}{7 - 1} =  \dfrac{5\sqrt{7} - 5}{6}
Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl