Skip to content

Warto艣膰 bezwzgl臋dna

W artykule

Warto艣膰 bezwzgl臋dn膮 oznaczamy symbolem dw贸ch pionowych kresek: ||, kt贸ry zosta艂 wprowadzony do j臋zyka matematyki w XIX w. Warto艣膰 bezwzgl臋dn膮 z liczby x zapisujemy nast臋puj膮co: |x|.

Definicja warto艣ci bezwzgl臋dnej

Warto艣膰 bezwzgl臋dna liczbie nieujemnej (wi臋kszej lub r贸wnej zero) przyporz膮dkowuje t臋 sam膮 liczb臋, a liczbie ujemnej 鈥 liczb臋 do niej przeciwn膮. Innymi s艂owy, o warto艣ci bezwzgl臋dnej z liczby rzeczywistej mo偶emy my艣le膰 jako o pewnego rodzaju dzia艂aniu, kt贸re polega na 鈥瀙omijaniu鈥, 鈥瀦apominaniu鈥 znaku liczby.

Przyk艂adowo:

  • |8| = 8
  • |0| = 0
  • |-67| = 67

W og贸lnym przypadku mo偶emy to zapisa膰 nast臋puj膮co:

\lvert x \rvert = \begin{cases}
x, &\text{je艣li } x \geq 0  \\
-x, &\text{je艣li } x < 0
\end{cases}

Przyk艂ad 1.

Zapisz bez u偶ycia symbolu warto艣ci bezwzgl臋dnej liczb臋 |7 鈥 鈭3|.

呕eby opu艣ci膰 znak warto艣ci bezwzgl臋dnej, musimy ustali膰, czy liczba znajduj膮ca si臋 wewn膮trz warto艣ci bezwzgl臋dnej jest dodatnia czy ujemna. W tym celu oszacujemy warto艣膰 wyra偶enia 7 鈥 鈭3,dostajemy:
7 鈥 鈭3 鈮 7 鈥 1,7 = 5,3 > 0

Liczba 7 鈥 鈭3 jest dodatnia. Oznacza to, 偶e opuszczaj膮c znak warto艣ci bezwzgl臋dnej, otrzymujemy t臋 sam膮 liczb臋, czyli:
|7 鈥 鈭3| = 7 鈥 鈭3


Przyk艂ad 2.

Zapisz bez u偶ycia symbolu warto艣ci bezwzgl臋dnej liczb臋 |3 鈥 3鈭2|.

呕eby opu艣ci膰 znak warto艣ci bezwzgl臋dnej, musimy ustali膰, czy liczba znajduj膮ca si臋 wewn膮trz warto艣ci bezwzgl臋dnej jest dodatnia czy ujemna. W tym celu oszacujemy warto艣膰 wyra偶enia 3 鈥 3鈭2, otrzymujemy:
3 鈥 3鈭2 鈮 3 鈥 3 路 1,4 = 3 鈥 4,2 = -1,2 < 0

Liczba 3 鈥 3鈭2聽jest ujemna. Oznacza to, 偶e opuszczaj膮c znak warto艣ci bezwzgl臋dnej, zmieniamy liczb臋 na przeciwn膮, czyli:
|3 鈥 3鈭2| = -(3 鈥 3鈭2) = -3 + 3鈭2 = = 3鈭2 鈥 3

Opuszczanie warto艣ci bezwzgl臋dnej w wyra偶eniach ze zmienn膮 x

Rozwa偶my wyra偶enie |x + 7|
呕eby opu艣ci膰 znak warto艣ci bezwzgl臋dnej, musimy ustali膰 znak liczby znajduj膮cej si臋 wewn膮trz warto艣ci bezwzgl臋dnej.

Zauwa偶my, 偶e:
|x + 7| 鈮 0 鈬 x聽鈮 -7聽
|x + 7| < 0 鈬 x聽< -7

wi臋c dla x wi臋kszych b膮d藕 r贸wnych -7 wyra偶enie wewn膮trz warto艣ci bezwzgl臋dnej jest nieujemne, a dla x mniejszych od -7 wyra偶enie wewn膮trz warto艣ci bezwzgl臋dnej jest ujemne. Opuszczaj膮c znak warto艣ci bezwzgl臋dnej, dostajemy:

\lvert x +7 \rvert = \begin{cases}
x + 7, &\text{je艣li } x \geq -7  \\ 
-(x + 7), &\text{je艣li } x < -7
\end{cases} =
=  \begin{cases}
x + 7, &\text{je艣li } x \geq -7  \\ 
-x - 7, &\text{je艣li } x < -7
\end{cases}

Warto艣膰 bezwzgl臋dna 鈥 interpretacja geometryczna

Wiemy ju偶, na czym polega obliczanie warto艣ci bezwzgl臋dnej z liczby rzeczywistej. Zastan贸wmy si臋 teraz,  jak mogliby艣my interpretowa膰 j膮 geometrycznie. Ot贸偶 w tym przypadku b臋dziemy rozumie膰 j膮 jako odleg艂o艣膰 鈥 warto艣ci膮 bezwzgl臋dn膮 z liczby rzeczywistej b臋dzie odleg艂o艣膰 tej liczby od zera. 

|2| = 2 i rzeczywi艣cie 艂atwo zauwa偶y膰, 偶e odleg艂o艣ci liczby 2 od zera jest r贸wna 2, co ilustruje rysunek:

Za pomoc膮 warto艣ci bezwzgl臋dnej obliczamy nie tylko odleg艂o艣膰 danej liczby od zera, ale i odleg艂o艣膰 mi臋dzy dwoma liczbami.

Wystarczy, 偶e obliczymy warto艣膰 bezwzgl臋dn膮 z r贸偶nicy tych liczb:
|3 鈥 (-1)| = |3 + 1| = |4| = 4 |-1 鈥 3| = |-4| = 4

Zauwa偶my, 偶e kolejno艣膰 odejmowania w tym przypadku nie ma znaczenia.

Korzystaj膮c z powy偶szych informacji, zastan贸wmy si臋, jak rozumie膰 zapis |x| = 3.

Ot贸偶 b臋dziemy chcieli wyznaczy膰 takie liczby x, kt贸rych odleg艂o艣膰 od zera jest r贸wna 3.

Patrz膮c na rysunek, 艂atwo zauwa偶y膰, 偶e rozwi膮zaniem r贸wnania b臋d膮 liczby 鈥3聽i聽3.

Zadanie 1.

Rozwa偶my r贸wnanie |x 鈥 4| = 1.

Ot贸偶 chcemy wyznaczy膰 takie liczby x, kt贸rych odleg艂o艣膰 od liczby 4 jest r贸wna 1.

Przyjrzyjmy si臋 rysunkowi.

Korzystaj膮c z rysunku, 艂atwo zauwa偶y膰, 偶e rozwi膮zaniem r贸wnania b臋d膮 liczby 3聽i聽5.


Zadanie 2.

Rozwa偶my jeszcze nier贸wno艣膰 |x + 3| < 2.

Zauwa偶my, 偶e mo偶emy zapisa膰 j膮 jako x 鈥 (-3)| < 2.
Zatem chcemy wyznaczy膰 wszystkie liczby x, kt贸rych odleg艂o艣膰 od liczby -3 jest mniejsza od 2.

Przyjrzyjmy si臋 rysunkowi.

Korzystaj膮c z rysunku, 艂atwo zauwa偶y膰, 偶e odleg艂o艣膰 od liczby -3 jest mniejsza od 2 dla liczb wi臋kszych od -5 i mniejszych od -1, czyli:
x聽鈭 (-5, -1).

Warto艣膰 bezwzgl臋dna 鈥 wybrane w艂asno艣ci

Warto艣膰 bezwzgl臋dna z liczby rzeczywistej jest liczb膮 nieujemn膮, co za pomoc膮 symboli mo偶emy zapisa膰:
|a| 鈮 0, a聽鈭 R

Warto艣膰 bezwzgl臋dna danej liczby i liczby do niej przeciwnej s膮 r贸wne:
|a| = |-a|, a聽鈭 R

Ponadto, poniewa偶 pierwiastek kwadratowy jest okre艣lony z liczb nieujemnych, to zachodzi:
鈭歛^2 = |a|, a聽鈭 R

Przyk艂adowo:
鈭3^2 = 鈭9 = 3 = |3| 鈭(-4)^2 = 鈭16 = 4 = |-4|

R贸wnania z warto艣ci膮 bezwzgl臋dn膮

W rozwi膮zywaniu r贸wna艅 i nier贸wno艣ci z warto艣ci膮 bezwzgl臋dn膮 mamy dwie metody dzia艂ania: mo偶na je rozwi膮zywa膰 bezpo艣rednio na podstawie definicji lub (je艣li jest to mo偶liwe) korzystaj膮c z w艂asno艣ci i warto艣ci bezwzgl臋dnej (co w wi臋kszo艣ci przypadk贸w oszcz臋dza czas na rachunki).

W poni偶szych przyk艂adach do rozwi膮zywania r贸wna艅 z warto艣ci膮 bezwzgl臋dn膮 b臋dziemy korzysta膰 z w艂asno艣ci:
|x| = a聽 鈬斅 x聽= a聽 鈭犅 x聽= -a

(symbol 鈭  czytamy 鈥瀕ub鈥).

Przyk艂ad 1.

Rozwi膮偶 r贸wnanie |x| = 14.
Korzystaj膮c z w艂asno艣ci warto艣ci bezwzgl臋dnej, dostajemy:
|x| = 14聽 鈬斅 x聽= 14聽 鈭犅 x聽= -14
czyli rozwi膮zaniem r贸wnania s膮 liczby:
x聽= -14, x聽= 14


Przyk艂ad 2.

Rozwi膮偶 r贸wnanie |x + 6| = 2.
Korzystaj膮c z w艂asno艣ci warto艣ci bezwzgl臋dnej, dostajemy:

|x + 6| = 2聽 鈬斅 x聽+ 6 = 2聽 鈭犅 x聽+ 6 = -2 x聽= -4聽 聽 鈭犅 x聽= -8

czyli rozwi膮zaniem r贸wnania s膮 liczby:
x聽= -8, x聽= -4


Przyk艂ad 3.

Rozwi膮偶 r贸wnanie (2x + 1)^2 = 9.

Obie strony r贸wnania s膮 nieujemne, wi臋c pierwiastkujemy r贸wnanie stronami. Otrzymujemy:
鈭(2x + 1)^2 = 3

Korzystaj膮c z w艂asno艣ci 鈭歺^2 = |x|, mamy:
|2x + 1| = 3

Dalsz膮 cz臋艣膰 rozpisujemy, korzystaj膮c z tej samej w艂asno艣ci, co w powy偶szych dw贸ch przyk艂adach:

|2x + 1| = 3聽 鈬斅 2x + 1 = 3聽 鈭犅 2x + 1 = -3 2x = 2聽 鈭犅 2x = -4 x= 1聽 鈭犅 x聽= -2

czyli rozwi膮zaniem r贸wnania s膮 liczby:
x聽= -2, x聽= 1

Nier贸wno艣ci z warto艣ci膮 bezwzgl臋dn膮

 poni偶szych przyk艂adach do rozwi膮zywania nier贸wno艣ci z warto艣ci膮 bezwzgl臋dn膮 b臋dziemy korzysta膰 z w艂asno艣ci (zak艂adamy, 偶e a聽鈮ヂ0):
1)  |x| > a聽 鈬斅 x聽> a聽 鈭犅 x聽< -a

(|x| 鈮 a聽鈬斅 x聽鈮 a聽鈭犅 x聽鈮 -a)
2) |x| < a聽 鈬斅 x聽< a聽 鈭犅 x聽> -a

|x| 鈮 a聽 鈬斅 x聽鈮 a聽 鈭 x聽鈮 -a

(symbol 鈭 czytamy 鈥瀒鈥).

Przyk艂ad 1.

Rozwi膮偶 nier贸wno艣膰 |x| < \frac{1}{2}.

Korzystaj膮c z w艂asno艣ci warto艣ci bezwzgl臋dnej, dostajemy:
|x| < \frac{1}{2}聽 鈬斅 x聽< \frac{1}{2}聽 鈭 x聽> -\frac{1}{2}

Rozwi膮zaniem nier贸wno艣ci s膮 liczby mniejsze od \frac{1}{2} i wi臋ksze od -\frac{1}{2}, czyli:
x聽鈭 (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}).


Przyk艂ad 2.

Rozwi膮za膰 nier贸wno艣膰 |3x + 1| 鈮 1 \frac{1}{2}.

Korzystaj膮c z w艂asno艣ci warto艣ci bezwzgl臋dnej, dostajemy:

|3x + 1| 鈮 1\frac{1}{2}聽 鈬斅 3x + 1 鈮 1{1}{2}聽 鈭 3x + 1 鈮 -1\frac{1}{2} 3x 鈮 \frac{1}{2} 聽鈭 3x 鈮 -2\frac{1}{2} x聽鈮 \frac{1}{6}聽 鈭 x聽鈮 -\frac{5}{6}

Rozwi膮zaniem r贸wnania s膮 liczby wi臋ksze b膮d藕 r贸wne od \frac{1}{6} lub mniejsze b膮d藕 r贸wne od -\frac{5}{6}, czyli:
x聽鈭 (-鈭, -\frac{5}{6}) 鈭 (\frac{1}{6}, +鈭).

Utrwal wiedz臋

Poni偶ej znajduj膮 si臋 zadania wraz z odpowiedziami, do rozwi膮zania kt贸rych wykorzystano wiedz臋 zaprezentowan膮 w tym artykule.

Zadanie 1. Zadanie 2.

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl