W artykule
Wartość bezwzględną oznaczamy symbolem dwóch pionowych kresek: ||, który został wprowadzony do języka matematyki w XIX w. Wartość bezwzględną z liczby x zapisujemy następująco: |x|.
Definicja wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna liczbie nieujemnej (większej lub równej zero) przyporządkowuje tę samą liczbę, a liczbie ujemnej – liczbę do niej przeciwną. Innymi słowy, o wartości bezwzględnej z liczby rzeczywistej możemy myśleć jako o pewnego rodzaju działaniu, które polega na „pomijaniu”, „zapominaniu” znaku liczby.
Przykładowo:
- |8| = 8
- |0| = 0
- |-67| = 67
W ogólnym przypadku możemy to zapisać następująco:
\lvert x \rvert = \begin{cases}
x, &\text{jeśli } x \geq 0 \\
-x, &\text{jeśli } x < 0
\end{cases}Przykład 1.
Zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej liczbę |7 – √3|.
Żeby opuścić znak wartości bezwzględnej, musimy ustalić, czy liczba znajdująca się wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnia czy ujemna. W tym celu oszacujemy wartość wyrażenia 7 – √3,dostajemy:
7 – √3 ≈ 7 – 1,7 = 5,3 > 0
Liczba 7 – √3 jest dodatnia. Oznacza to, że opuszczając znak wartości bezwzględnej, otrzymujemy tę samą liczbę, czyli:
|7 – √3| = 7 – √3
Przykład 2.
Zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej liczbę |3 – 3√2|.
Żeby opuścić znak wartości bezwzględnej, musimy ustalić, czy liczba znajdująca się wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnia czy ujemna. W tym celu oszacujemy wartość wyrażenia 3 – 3√2, otrzymujemy:
3 – 3√2 ≈ 3 – 3 · 1,4 = 3 – 4,2 = -1,2 < 0
Liczba 3 – 3√2 jest ujemna. Oznacza to, że opuszczając znak wartości bezwzględnej, zmieniamy liczbę na przeciwną, czyli:
|3 – 3√2| = -(3 – 3√2) = -3 + 3√2 =
= 3√2 – 3
Opuszczanie wartości bezwzględnej w wyrażeniach ze zmienną x
Rozważmy wyrażenie |x + 7|.
Żeby opuścić znak wartości bezwzględnej, musimy ustalić znak liczby znajdującej się wewnątrz wartości bezwzględnej.
Zauważmy, że:
|x + 7| ≥ 0 ⇒ x ≥ -7
|x + 7| < 0 ⇒ x < -7
więc dla x większych bądź równych -7 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest nieujemne, a dla x mniejszych od -7 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne. Opuszczając znak wartości bezwzględnej, dostajemy:
\lvert x +7 \rvert = \begin{cases}
x + 7, &\text{jeśli } x \geq -7 \\
-(x + 7), &\text{jeśli } x < -7
\end{cases} == \begin{cases}
x + 7, &\text{jeśli } x \geq -7 \\
-x - 7, &\text{jeśli } x < -7
\end{cases}Wartość bezwzględna – interpretacja geometryczna
Wiemy już, na czym polega obliczanie wartości bezwzględnej z liczby rzeczywistej. Zastanówmy się teraz, jak moglibyśmy interpretować ją geometrycznie. Otóż w tym przypadku będziemy rozumieć ją jako odległość – wartością bezwzględną z liczby rzeczywistej będzie odległość tej liczby od zera.
|2| = 2 i rzeczywiście łatwo zauważyć, że odległości liczby 2 od zera jest równa 2, co ilustruje rysunek:
Za pomocą wartości bezwzględnej obliczamy nie tylko odległość danej liczby od zera, ale i odległość między dwoma liczbami.
Wystarczy, że obliczymy wartość bezwzględną z różnicy tych liczb:
|3 – (-1)| = |3 + 1| = |4| = 4
|-1 – 3| = |-4| = 4
Zauważmy, że kolejność odejmowania w tym przypadku nie ma znaczenia.
Korzystając z powyższych informacji, zastanówmy się, jak rozumieć zapis |x| = 3.
Otóż będziemy chcieli wyznaczyć takie liczby x, których odległość od zera jest równa 3.
Patrząc na rysunek, łatwo zauważyć, że rozwiązaniem równania będą liczby –3 i 3.
Zadanie 1.
Rozważmy równanie |x – 4| = 1.
Otóż chcemy wyznaczyć takie liczby x, których odległość od liczby 4 jest równa 1.
Przyjrzyjmy się rysunkowi.
Korzystając z rysunku, łatwo zauważyć, że rozwiązaniem równania będą liczby 3 i 5.
Zadanie 2.
Rozważmy jeszcze nierówność |x + 3| < 2.
Zauważmy, że możemy zapisać ją jako x – (-3)| < 2.
Zatem chcemy wyznaczyć wszystkie liczby x, których odległość od liczby -3 jest mniejsza od 2.
Przyjrzyjmy się rysunkowi.
Korzystając z rysunku, łatwo zauważyć, że odległość od liczby -3 jest mniejsza od 2 dla liczb większych od -5 i mniejszych od -1, czyli:
x ∈ (-5, -1).
Wartość bezwzględna – wybrane własności
Wartość bezwzględna z liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, co za pomocą symboli możemy zapisać:
|a| ≥ 0, a ∈ R
Wartość bezwzględna danej liczby i liczby do niej przeciwnej są równe:
|a| = |-a|, a ∈ R
Ponadto, ponieważ pierwiastek kwadratowy jest określony z liczb nieujemnych, to zachodzi:
√a^2 = |a|, a ∈ R
Przykładowo:
√3^2 = √9 = 3 = |3|
√(-4)^2 = √16 = 4 = |-4|
Równania z wartością bezwzględną
W rozwiązywaniu równań i nierówności z wartością bezwzględną mamy dwie metody działania: można je rozwiązywać bezpośrednio na podstawie definicji lub (jeśli jest to możliwe) korzystając z własności i wartości bezwzględnej (co w większości przypadków oszczędza czas na rachunki).
W poniższych przykładach do rozwiązywania równań z wartością bezwzględną będziemy korzystać z własności:
|x| = a ⇔ x = a ∨ x = -a
(symbol ∨ czytamy „lub”).
Przykład 1.
Rozwiąż równanie |x| = 14.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, dostajemy:
|x| = 14 ⇔ x = 14 ∨ x = -14
czyli rozwiązaniem równania są liczby:
x = -14, x = 14
Przykład 2.
Rozwiąż równanie |x + 6| = 2.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, dostajemy:
|x + 6| = 2 ⇔ x + 6 = 2 ∨ x + 6 = -2 x = -4 ∨ x = -8
czyli rozwiązaniem równania są liczby:
x = -8, x = -4
Przykład 3.
Rozwiąż równanie (2x + 1)^2 = 9.
Obie strony równania są nieujemne, więc pierwiastkujemy równanie stronami. Otrzymujemy:
√(2x + 1)^2 = 3
Korzystając z własności √x^2 = |x|, mamy:
|2x + 1| = 3
Dalszą część rozpisujemy, korzystając z tej samej własności, co w powyższych dwóch przykładach:
|2x + 1| = 3 ⇔ 2x + 1 = 3 ∨ 2x + 1 = -3 2x = 2 ∨ 2x = -4 x= 1 ∨ x = -2
czyli rozwiązaniem równania są liczby:
x = -2, x = 1
Nierówności z wartością bezwzględną
poniższych przykładach do rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną będziemy korzystać z własności (zakładamy, że a ≥ 0):
1) |x| > a ⇔ x > a ∨ x < -a
(|x| ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ -a)
2) |x| < a ⇔ x < a ∧ x > -a
(symbol ∧ czytamy „i”).
Przykład 1.
Rozwiąż nierówność |x| < \frac{1}{2}.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, dostajemy:
|x| < \frac{1}{2} ⇔ x < \frac{1}{2} ∧ x > -\frac{1}{2}
Rozwiązaniem nierówności są liczby mniejsze od \frac{1}{2} i większe od -\frac{1}{2}, czyli:
x ∈ (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}).
Przykład 2.
Rozwiązać nierówność |3x + 1| ≥ 1 \frac{1}{2}.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, dostajemy:
|3x + 1| ≥ 1\frac{1}{2} ⇔ 3x + 1 ≥ 1{1}{2} ∨ 3x + 1 ≤ -1\frac{1}{2} 3x ≥ \frac{1}{2} ∨ 3x ≤ -2\frac{1}{2} x ≥ \frac{1}{6} ∨ x ≤ -\frac{5}{6}
Rozwiązaniem równania są liczby większe bądź równe od \frac{1}{6} lub mniejsze bądź równe od -\frac{5}{6}, czyli:
x ∈ (-∞, -\frac{5}{6}) ∪ (\frac{1}{6}, +∞).
Utrwal wiedzę
Poniżej znajdują się zadania wraz z odpowiedziami, do rozwiązania których wykorzystano wiedzę zaprezentowaną w tym artykule.
Paulina
