W koło na około, czyli kilka słów o zjawiskach powtarzających się

Praktycznie każdy z nas miał okazję huśtać się na placu zabaw, czy skorzystać z karuzeli w wesołym miasteczku. Obserwujemy wówczas powtarzalność ruchu, gdy na przykład huśtawka wraca do najniższego położenia lub wtedy, gdy krzesełko karuzeli po wykonaniu jednego obrotu powraca do początkowego położenia i zaczyna wykonywać następny obrót. Zastanówmy się zatem nad pojęciami, które pomogą nam opisać tego typu ruch.

Częstotliwość i okres

Na pewno słyszałeś kiedyś, że coś może powtarzać się cyklicznie. Oznacza to, że mamy do czynienia z szeregiem czynności lub zjawisk powtarzających się w regularnych odstępach czasu. Na przykład, jeżeli wsiadamy do krzesełka karuzeli, to gdy zacznie ona swój ruch, po wykonaniu jednego pełnego okrążenia krzesełko znowu znajdzie się w tym samym położeniu, w którym było na początku. 

Inny przykład ruchu cyklicznego otrzymamy, gdy zawiesimy na sznureczku dowolnie ciężki przedmiot i odchylimy go tak, że przy naciągniętej nici znajdzie się powyżej swojego maksymalnego położenia. Ciężarek po wypuszczeniu z rąk zacznie poruszać się w stronę swojego najniższego położenia, wychyli się w drugą stronę, znowu przejdzie przez swoje najniższe położenie i wróci do miejsca, w którym został puszczony. 

Kolejnym bardzo ciekawym przykładem cyklu jest bicie naszego serca, co nazywamy cyklem pracy serca. Ten ważny narząd może wykonać od 60 do 80 uderzeń na minutę. 

Wielkość fizyczna, która mówi nam o liczbie cykli pewnego zjawiska powtarzającego się regularnie w jednostce czasu, nazywana jest częstotliwością. Najczęściej oznaczamy ją literą f [ang. frequency]. Matematycznie tę definicję zapisujemy w następujący sposób:

f=\frac{n}{t}

gdzie:

• n – liczba wykonanych cykli (np. liczba obrotów wykonanych przez karuzelę, liczba uderzeń serca), 
• t – całkowity czas, w jakim wykonane zostały podane cykle. 

Z kolei jednostką częstotliwości jest herc, będący pochodną jednostką układu SI:

1 \ Hz=\frac{1}{s}

Drugim ważnym pojęciem związanym z ruchem cyklicznym jest okres, czyli czas trwania jednego pełnego cyklu. Możemy obliczyć go jako iloraz całkowitego czasu trwania wszystkich cykli do liczby tych cykli:

T=\frac{t}{n}

Oznacza to, że jeżeli przykładowo mamy do czynienia z obrotem karuzeli, to czas w jakim zostanie wykonany jej jeden pełny obrót, jest okresem obrotu tej karuzeli. Jednostką okresu jest sekunda. 

Zauważmy, że obie te wielkości (częstotliwość i okres) opisane są za pomocą liczby wykonanych cykli oraz czasu trwania cykli. Oznacza to, że możemy je ze sobą powiązać, wykonując proste przekształcenia:

f=\frac{n}{t}

f=\frac{1}{\frac{t}{n}}

f=\frac{1}{T}

Wynika z tego, że częstotliwość jest odwrotnością okresu. Natomiast okres jest odwrotnością częstotliwości, co przedstawić możemy wzorem:

T=\frac{1}{f}

Mówimy również, że okres jest odwrotnie proporcjonalny do częstotliwości, a częstotliwość jest odwrotnie proporcjonalna do okresu. 

Ruch po okręgu

Wyobraźmy sobie, że idziemy do wesołego miasteczka, gdzie znajduje się prosta karuzela krzesełkowa. Siadamy na jednym z krzesełek i w chwili, kiedy rusza z miejsca, włączamy stoper. Następnie liczymy, ile pełnych obrotów wykonaliśmy na karuzeli, a gdy minie ich pełna liczba, wyłączamy stoper. Załóżmy, że wykonaliśmy 14 pełnych okrążeń, a czas, w jakim to nastąpiło, wyniósł 112 sekund. 

Z wcześniejszego akapitu wiemy, że częstotliwość naszego ruchu będzie wynosiła:

f=\frac{14}{112 \ s}=\frac{1}{8}\frac{1}{s}=0,125\ Hz

Natomiast okres tego ruchu to:

T=\frac{112\ s}{14}=8\ s

Powiemy zatem, że częstotliwość naszego obrotu równa jest 0,125 Hz, a jedno pełne okrążenie wykonujemy w czasie 8 sekund. Poprawnie również będzie, gdy powiemy, że okres ruchu wynosi 8 sekund.

Co jednak, gdybyśmy chcieli dowiedzieć się, z jaką szybkością poruszamy się na krzesełku karuzeli? Zauważmy, że torem naszego ruchu jest okrąg. Droga przez nas przebyta w czasie jednego okresu odpowiada długości tego okręgu. 

Wiemy, że wartość prędkości obliczyć możemy za pomocą zależności

v=\frac{s}{t}

W naszym przypadku drogę przebytą w czasie jednego pełnego okrążenia przedstawimy jako długość okręgu:

s=2 \pi r,

gdzie:

• \pi \approx 3,14 – stała matematyczna, 
• r – promień okręgu, po jakim się poruszamy. 

Wynika z tego, że aby wyznaczyć drogę, jaką przebyliśmy w czasie jednego okresu na karuzeli, będziemy potrzebować taśmy mierniczej. Zakładamy, że obsługa karuzeli wyraziła zgodę i udało się nam bezpiecznie zmierzyć średnicę naszej karuzeli, która wynosi d = 16 m. Pamiętamy, że średnica jest dwukrotnością długości promienia, czyli promień jest połową tej średnicy i wynosi r = 16 m : 2 = 8 m. Czas jednego obiegu krzesełka karuzeli odpowiada okresowi. 

W opisanej sytuacji mamy do czynienia z pojęciem prędkości liniowej, czyli takiej, która jest styczna do okręgu będącego torem ruchu ciała w każdym jego punkcie. To znaczy, że jej kierunek i zwrot się zmieniają. Zatem wartość tej prędkości, a więc szybkość liniową w ruchu po okręgu, możemy przedstawić wzorem:

v=\frac{2\pi r}{T}

gdzie 2\pi r jest drogą, jaką nasze ciało przebywa w czasie jednego okresu T.

Ponieważ okres jest odwrotnością częstotliwości, to również prawdziwe będzie równanie:

v=2 \pi  r f

Ryc. 1. Cztery punkty poruszające się po okręgu z prędkością liniową o takiej samej wartości

Obliczamy naszą szybkość liniową w tym ruchu:

v=\frac{2\cdot 3,14 \cdot 8 \ m}{8\ s}=6,28 \ \frac{m}{s}

Zatem, gdy poruszamy się na tej karuzeli, nasza szybkość liniowa wynosi 6,28 \frac{m}{s}. 

Ruch drgający

Z karuzeli przenosimy się na huśtawkę. Wychylamy się z najniższego położenia tyle, ile tylko jest to możliwe i zwalniamy wszystkie blokady. Wówczas huśtawka wychyla się w dwie strony. Widzimy tutaj wyraźną powtarzalność ruchu, czyli możemy mieć do czynienia z pewnym cyklem. Rozważamy zatem tak zwany ruch drgający, czyli taki, w którym opisujące go wielkości powtarzają się cyklicznie lub, inaczej mówiąc, okresowo. Najniższe możliwe położenie nazywamy wówczas położeniem równowagi. Jest to taki punkt, w którym wszystkie działające na ciało siły równoważą się. Zatem na przykład siła naciągu łańcuchów huśtawki zrównoważy siłę ciężkości huśtawki wraz z osobą, która się na niej huśta. 

Innym przykładem ruchu drgającego będzie ciało zawieszone na sprężynie, takie jak na przykład odważnik na siłomierzu w pracowni fizycznej. Gdy mamy na myśli możliwie największe wychylenie, to mówimy o amplitudzie, którą oznaczamy literą A.

Ryc. 2. Fazy ruchu na huśtawce. Od lewej: największe wychylenie z położenia równowagi, położenie równowagi, kolejne największe wychylenie z położenia równowagi.

Wahadło matematyczne

W fizyce model ciała opisujący punkt materialny zawieszony na nieważkiej nici nazywamy wahadłem matematycznym. Mamy pewne ciało o pomijalnie małej masie i zawieszamy je na nieważkiej nici. 

Ryc. 3. Model wahadła matematycznego

Wahadło drga z pewnym okresem, który możemy obliczyć za pomocą wzoru:

T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

gdzie:

•  l – długość nici, na jakiej powieszono wahadło,
•  g = 10 \frac{m}{s^2} – wartość przyspieszenia ziemskiego. 

A to ciekawe!
Każde ciało może oscylować jak wahadło. Wahadło matematyczne opisywało nam układ składający się z masy punktowej i nieważkiej nici. Natomiast wahadło fizyczne to dowolne ciało, którego ruch jest podobny do wahadła matematycznego, ale które nie może być opisane jako masa punktowa na nici, ponieważ równanie jego ruchu musi uwzględnić rozkład jego masy.

Ryc. 4. Model wahadła fizycznego

Do opisu takiego obiektu potrzeba zaawansowanych równań matematycznych, a okres tego typu wahadła obliczamy za pomocą wzoru:

T=2\pi \sqrt{\frac{l}{mgd}}

gdzie: 

• I – moment bezwładności (miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym) tego wahadła,
•  m – masa obiektu,
•  g – wartość przyspieszenia ziemskiego,
•  d – odległość osi obrotu O wahadła od środka masy, gdzie przyłożona jest siła ciężkości.

Ciało na sprężynie

W przypadku, gdy mamy do czynienia z odważnikiem zawieszonym na sprężynie, również mówimy o ruchu drgającym. Przenieśmy się teraz do laboratorium fizycznego. Aby zbudować taki układ, potrzebujemy ciężarka oraz sprężyny. Na początku naszą sprężynę mocujemy do statywu. Następnie zawieszany na niej ciężarek i obserwujemy jej rozciągnięcie. W chwili, gdy ciężarek zawieszony na sprężynie jest nieruchomy, mówimy, że znajduje się on w położeniu równowagi. Wówczas działają na niego dwie równoważące się siły: siła ciężkości oraz siła będąca reakcją na naciąg sprężyny, popularnie nazywana siłą sprężystości. Siła ta pojawia się, gdy ciało ulega deformacji, czyli jak w przypadku sprężyny, gdy zostanie ona wydłużona lub ściśnięta. Podstawową własnością siły sprężystości jest jej proporcjonalność do siły odkształcenia sprężyny, o czym mówi nam prawo Hooke’a. Dla ciała na sprężynie matematyczna forma tego prawa może przyjąć postać: 

F_s=kx_0

gdzie:

•  F_s – wartość siły sprężystości działającej na sprężynę, która wydłuży się o x_0, 
• k – współczynnik proporcjonalności charakteryzujący daną sprężynę i nazywany współczynnikiem sprężystości. 

Ryc. 5. Sprężyna przed i po powieszeniu na nim ciężarka

Jeżeli ta sprężyna miała na początku długość równą 2 cm, a po zamocowaniu do niej ciężarka wydłużyła się do 6 cm, to wydłużenie tej sprężyny wynosi:

x_0=6\ cm -2\ cm=4\ cm=0,04\ m

Ważymy nasz ciężarek i otrzymujemy masę równą 200 g, czyli:

m=200\ g = 0,2\ kg

Wartość siły ciężkości przestawiamy wzorem:

F_c =m g

gdzie:

•  m – masa ciężarka, 
• g=10\frac{m}{s^2} – wartość przyspieszenia ziemskiego.

Zatem zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, współczynnik proporcjonalności tej sprężyny będzie miał postać:

F_s=F_c

k\ x_0 = m\ g     |:x_0

k=\frac{m\ g}{x_0}

k=\frac{0,2\ kg\cdot 10\ \frac{m}{s^2}}{0,04\ m}=\frac{2\ kg\cdot \frac{m}{s^2}}{0,04\ m}=\frac{2\ N}{0,04\ m}=\frac{N}{m}

Jest to współczynnik sprężystości dla tej konkretnej, rozważanej przez nas sprężyny. Każda inna sprężyna może różnić się od naszej współczynnikiem proporcjonalności. 

Podobnie, jak w przypadku wahadła matematycznego, dla ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy przedstawić wzorem:

T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

gdzie m jest masą ciężarka zawieszonego na sprężynie, której współczynnik sprężystości wynosi k.

Wychylenie 

Jeżeli zadziałamy na nasz układ pewną siłą zewnętrzną, powodując na przykład ściśnięcie sprężyny, to wówczas po puszczeniu nasz układ zacznie wykonywać drgania od jednego skrajnego położenia, przez położenie równowagi, do kolejnego skrajnego położenia i z powrotem.

Ryc. 6. Cykl ruchu ciężarka na sprężynie

Mówimy wówczas o wychyleniu ciała z położenia równowagi, które oznaczamy przez x, co w układzie współrzędnych reprezentowane jest na osi pionowej. Oś pozioma będzie wtedy reprezentacją czasu. Zauważmy, że ciężarek porusza się po pewnej krzywej, którą nazywamy sinusoidą. Jeden pełny cykl, czyli okres, odpowiada na tym wykresie odległości pomiędzy dwoma takimi samymi położeniami po wykonaniu jednego pełnego drgania. Wykres ten możemy przedstawić jako:

Ryc. 7. Wykres ruchu drgającego

Wykres świadczy o tym, że nasz ciężarek porusza się ruchem zmiennym okresowo. Zauważmy, że wychylenie może przyjmować również ujemne wartości. Przeanalizujmy go w czasie jednego okresu, zakładając, że na nasz ciężarek nie działają żadne siły oporów ruchu. Drugim założeniem niech będzie, że w chwili początkowej ciężarek znajdował się w położeniu równym maksymalnemu wychyleniu z położenia równowagi (x=A). 

Etap 1:

Na początku ciężarek był nieruchomy (v=0), czyli od jego puszczenia w położeniu x =A do chwili, gdy znajdzie się w położeniu równowagi (x=0), nabiera on szybkości, poruszając się ruchem przyspieszonym, aż w położeniu równowagi osiągnie największą możliwą szybkość (v_max). 

Etap 2: 

Następnie pchnięty bezwładnością przechodzi przez położenie równowagi (x=0) i osiąga kolejne skrajne położenie x=-A, jednak tym razem ciężarek zostaje wyhamowany. Oznacza to, że w najniższym możliwym położeniu ma zerową wartość prędkości, czyli na tym etapie poruszał się ruchem opóźnionym. 

Etap 3:

W dalszej kolejności, od maksymalnego wychylenia x=-A, gdzie jego szybkość jest zerowa (v=0), ponownie przemieszcza się w stronę położenia równowagi (x=0,\ v_max), czyli znów nabiera szybkości, poruszając się wówczas ruchem przyspieszonym. 

Etap 4:

Na końcu ciężarek z położenia równowagi przemieszcza się do początkowego położenia x=A, wytracając swoją szybkość do v=0, czyli znów poruszając się ruchem opóźnionym.

Wiedza dodatkowa!

W szkole ponadpodstawowej opisujemy ruch ciężarka za pomocą funkcji matematycznych, które mają postać:

• położenie: x(t)=A sin (\omega t+\varphi_0),
• prędkość: v(t)=\varphi A\ cos\ (\omega t+\varphi_0),
• przyspieszenie: a(t)=-\omega^2 A\ sin (\omega\ t+\varphi_0).

Wykresy zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu drgającym mają postać:

Ryc. 8. Wykresy zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu

gdzie:

\omega=2\pi f

• \omega=2\pi f – częstość drgań, 
• A – amplituda, 
• t – czas trwania ruchu, 
• \varphi – faza początkowa.

Zauważmy, że w czasie tego ruchu nasz ciężarek dąży do przemieszczenia się w położenie równowagi. Działająca na niego na każdym etapie siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia tego ciężarka z położenia równowagi. Ponadto siła ta musi być zwrócona w stronę położenia równowagi, a jej wartość w ogólnym przypadku przedstawiamy wzorem:

F_x=k\ |x|

gdzie:

•  k – współczynnik sprężystości,
•  |x| – wartość bezwzględna dowolnego wychylenie ciała z położenia równowagi.

Taki typ ruchu nazywamy ruchem harmonicznym, a do jego przykładów zaliczamy: 

• ciężarek na sprężynie, 
• wahadło matematyczne, 
• wahadło fizyczne,
• drgania atomów sieci krystalicznej. 

Materiały źródłowe