Sześciokąt foremny i trójkąt równoboczny

W tym wpisie przyjrzymy się zagadnieniom związanym z trójkątem równobocznym oraz sześciokątem foremnym. Zdobytą wiedzę przećwiczymy, rozwiązując zadania. Gotowy do wspólnej nauki? Zaczynamy!

Trójkąt równoboczny

W trójkącie tym:

• wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60º,
• wszystkie boki mają równe długości.

Ryc. 1. Trójkąt równoboczny

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Ryc. 2. Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Wzór na wysokość trójkąta równobocznego
h=\frac{a\sqrt3}{2}

Gdzie:
a – długość boku trójkąta.

Ryc. 3 Pole trójkąta równobocznego

Wzór na pole trójkąta równobocznego
P=\frac{a^2\sqrt3}{4}

Gdzie:
a – długość boku trójkąta.

Sześciokąt foremny

W sześciokącie foremnym:

• wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 120º,
• wszystkie boki mają równe długości.

Sześciokąt foremny można podzielić na 6 przystających (identycznych) trójkątów równobocznych. Boki tych trójkątów mają taką samą długość jak boki sześciokąta.

Ryc. 4. Pole sześciokąta foremnego

Wielokąt foremny

Trójkąt równoboczny oraz sześciokąt foremny to wielokąty foremne.

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie boki mają jednakowe długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary.

Przykładowe zadanie

Trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny mają równe pola. Uzasadnij, że stosunek długości boku trójkąta do boku sześciokąta wynosi \sqrt6.

Rozwiązanie:
Oznaczmy przez a długość boku trójkąta równobocznego.
Wówczas jego pole wyraża się wzorem:

P_1=\frac{a^2\sqrt3}{4}

Oznaczmy przez b długość boku sześciokąta foremnego.
Wówczas jego pole wyraża się wzorem:

P_2=6\cdot\frac{b^2\sqrt3}{4}

Z treści zadania wiemy, że trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny mają równe pola.

P_1=P_2

Mamy więc:

\frac{a^2\sqrt3}{4}=6\cdot\frac{b^2\sqrt3}{4}

Obie strony równania mnożymy przez 4. Dostajemy wtedy:

a^2\sqrt3=6\cdot b^2\sqrt3

Obie strony równania dzielimy przez \sqrt3. Dostajemy wtedy:

a^2=6\cdot b^2

Pierwiastkując obie strony równania, dostajemy:

a=\sqrt6\cdot b

Stosunek długości boku trójkąta a do długości boku sześciokąta b jest równy:

\frac{a}{b}=\frac{\sqrt6\cdot b}{b}=\sqrt6

Zobacz też:

Trójkąty i twierdzenie Pitagorasa (czytaj)