Logarytmy

Wiadomo, że jeśli chcemy podnieść liczbę 2 do potęgi 3, to wynikiem tego działania jest liczba 8:

2^3=8

Z kolei, gdy podnosimy liczbę 4 do potęgi \frac {1}{2}, to otrzymujemy 2:

4^{\frac{1}{2}}=2

W sytuacji, gdy znamy podstawę potęgi a (liczbę dodatnią różną od 1) i wykładnik potęgi c, to możemy jednoznacznie wskazać wynik b tego potęgowania:

a^c=b

Zastanówmy się teraz, co w sytuacji, gdy znamy podstawę potęgi i jej wartość, a nie znamy wykładnika potęgi?

W niektórych przypadkach będzie to proste np.:

4^c=64

wtedy  c=3 , ponieważ 4^3 = 64

W innych nieco bardziej skomplikowane:

8^c=16

wtedy c= \frac{4}{3}, ponieważ:

8^{\frac{4}{3}}= (\sqrt[3]{8})^4=2^4=16

Jeszcze trudniej robi się w przypadku, gdy:

2^c=3

Widać, że potęgi c nie jesteśmy w stanie wyznaczyć tak, jak w poprzednich przypadkach.
Właśnie w takich sytuacjach na ratunek przychodzą logarytmy.

Logarytmem przy podstawie a (a > 0 i a ≠ 1) z liczby b (b > 0) nazywamy liczbę c, do której należy podnieść liczbę a, żeby otrzymać liczbę b.

Powyższe zdanie zapisane za pomocą symboli wygląda tak:

log_a​b = c ⟺ a^c = b 

Logarytm dziesiętny

Logarytm przy podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym. Przyjmujemy, że w przypadku tego logarytmu nie zapisujemy jego podstawy, czyli np. logarytm dziesiętny z liczby 7 oznaczamy: log7.

Zobaczmy, jak działa logarytmowanie na kilku prostych przykładach:

W rozwiązywaniu zadań z użyciem logarytmów przydatne są poniższe własności (prawa działań na logarytmach).

Jeśli a, x ∈ ℝ_+ \{1},
b, c, y ∈ ℝ_+,  n ∈ ℝ
to prawdziwe są poniższe wzory:

1. a^{log_ab}=b

2. log_ab^n=n\cdot log_ab

3. log_a(b\cdot c)=log_ab+log_ac
(logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów)

4. log_a(\frac{b}{c})=log_ab-log_ac
(logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów)

5. log_xy=\frac{log_ay}{log_ax}
(wzór na zmianę podstaw logarytmów)

Przykłady

1. Obliczyć wartość wyrażenia  6^{log}⁡6^4.

Rozwiązanie:
Zauważmy, że możemy skorzystać ze wzoru 1., ponieważ podstawą potęgi i podstawą logarytmu jest ta sama liczba. Zatem mamy:

6^{log}6^4

2. Obliczyć wartość wyrażenia

\frac{\log_3 243}{\log_8 64}

Rozwiązanie:
Zauważmy, że  243 = 3^5 oraz  64 = 8^2, czyli możemy zapisać:

\frac{\log_3 243}{\log_8 64}= \frac{\log_3 3^5}{\log_8 8^2}=...

Następnie korzystamy ze wzoru 2. i dostajemy:

...= \frac{5 \cdot \log_3 3}{2 \cdot \log_8 8} = \frac{5}{2}

3. Obliczyć wartość wyrażenia  log_{2}20 + log⁡_{2}6,4 .

Rozwiązanie:
Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu mamy sumę logarytmów przy tych samych podstawach. Zatem możemy skorzystać ze wzoru 3.

log_220+log_26,4=

=log_2(20\cdot6,4)=log_2128=...

Zauważmy, że 128 = 2^7 , czyli korzystając ze wzoru 2., możemy zapisać:

...=log_22^7=7\cdot log_22=7\cdot 1=7

4. Obliczyć wartość wyrażenia \log_{\sqrt{3}} \ 9\sqrt{3}

Rozwiązanie:
Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu liczbą logarytmowaną jest iloczyn liczb 9 i √3.
Zatem, korzystając ze wzoru 3., dostajemy:

\log_{\sqrt{3}} (9 \cdot \sqrt{3}) = \log_{\sqrt{3}} 9 + \log_{3} \sqrt{3}=...

Zauważmy, że  9= \sqrt{3}^4 , czyli, korzystając ze wzoru 2., mamy:

... = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3}^4 + 1 = 

= 4 \cdot \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} + 1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5

5. Obliczyć wartość wyrażenia

\log_{\frac{3}{5}} 9 - 2 \log_{\frac{3}{5}} 5

Rozwiązanie:
Najpierw korzystamy ze wzoru 2.:

\log_{\frac{3}{5}} 9 - 2 \log_{\frac{3}{5}} 5 =

= \log_{\frac{3}{5}} 9 - \log_{\frac{3}{5}} 5^2 =

=\log_{\frac{3}{5}} 9 - \log_{\frac{3}{5}} 25 = ...

Następnie, ponieważ mamy różnicę logarytmów przy tych samych podstawach, możemy skorzystać ze wzoru 4.

... = \log_{\frac{3}{5}} \frac{9}{25}=

\log_{\frac{3}{5}} (\frac{3}{5})^2=

=2 \cdot \log_{\frac{3}{5}} \frac{3}{5}=

=2 \cdot 1 = 2

6. Obliczyć wartość wyrażenia log⁡_78 \cdot log⁡_89 \cdot log_97.

Rozwiązanie:
Skorzystamy ze wzoru 5. na zamianę podstawy logarytmu i przedstawimy powyższe wyrażenie w zależności od logarytmu przy podstawie 7. Otrzymujemy:

\log_7 8 \cdot \log_8 9 \cdot \log_9 7=

= \log_7 8 \cdot \frac{\log_7 9}{\log_7 8} \cdot \frac{\log_7 7}{\log_7 9} =

= \log_7 7=1

Zastosowanie logarytmów

Choć obecnie ta informacja może zaskakiwać, to zastosowanie logarytmów znacznie zmniejszyło czas wykonywania skomplikowanych obliczeń. Korzystając z powyżej przedstawionych wzorów, można zastąpić mnożenie i dzielenie liczb dużo prostszymi działaniami (dodawaniem i odejmowaniem). Prześledźmy to na przykładzie.

Spróbujmy samodzielnie na kartce wykonać mnożenie:

1,23 \cdot 4,62 \cdot 5,36 \cdot 6,18

Po cierpliwym wykonaniu dość żmudnych i długotrwałych rachunków otrzymamy:

1,23 \cdot 4,62 \cdot 5,36 \cdot 6,18=

=5,6826\cdot5,36\cdot6,18=

=30,458736\cdot6,18=

=188,23498848≈188,235

Teraz przenieśmy się na chwilę do XVII w. i spróbujmy wykonać to samo zadanie z użyciem logarytmu.

x=1,23\cdot4,62\cdot5,36\cdot6,18

logarytmujemy równanie stronami i otrzymujemy  (x>0, x≠1) :

log_x=log(1,23\cdot 4,62\cdot 5,36\cdot 6,18

Korzystając z tego, że logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów, dostajemy:

log_x=log1,23+log4,62+log5,36+log6,18

Wartości odpowiednich logarytmów dziesiętnych odczytujemy z tablic logarytmicznych (powstałych w XVII w.) i dostajemy:

log x =log1,23+log4,62+

+log5,36+log6,18≈

≈0,09+0,6646+0,7292+

+0,791=2,2748

Teraz ponownie za pomocą tablic logarytmicznych sprawdzamy, dla jakiej liczby x wartość logarytmu dziesiętnego tej liczby jest równa 2,2748. Dostajemy
x ≈ 188,278

Otrzymana dokładność tak przeprowadzonych rachunków jest bardzo często zupełnie wystarczająca.

Logarytmy dziesiętne znajdują zastosowanie m.in. w chemii (mają związek z określaniem odczynu roztworu) czy też w fizyce (w akustyce).

Przykład (zadanie z matury 2016)

Skala Richtera służy do określenia siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R = \log \frac{A}{A_0} , gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach,   A_0​=10^{−4}cm  jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2004 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy mniejsza od 100 cm.

Rozwiązanie:
Wstawiając do podanego wzoru:

A_0=10^{-4}\ cm

R=6,2

otrzymujemy:

6,2 = \log \frac{A}{10^{-4}}

Korzystając z definicji logarytmu:

log_ab=c \iff a^c=b

otrzymujemy:

10^{6,2} = \frac{A}{10^{-4}} \ \ \ | \cdot 10^{-4}

10^{6,2} \cdot 10^{-4} = A

10^{6,2-4} = A

10^{2,2} = A

Zauważmy, że:

10^{2,2} \ cm > 10^2 \ cm = 100 \ cm

czyli amplituda trzęsienia ziemi w Tajlandii była większa niż 100 cm, ponieważ wynosiła 10^2,2 cm.