Skip to content

W artykule

Wiadomo, 偶e je艣li chcemy podnie艣膰 liczb臋 2 do pot臋gi 3, to wynikiem tego dzia艂ania jest liczba 8:

2^3=8

Z kolei, gdy podnosimy liczb臋 4 do pot臋gi \frac {1}{2}, to otrzymujemy 2:

4^{\frac{1}{2}}=2

W sytuacji, gdy znamy podstaw臋 pot臋gi a (liczb臋 dodatni膮 r贸偶n膮 od 1) i wyk艂adnik pot臋gi c, to mo偶emy jednoznacznie wskaza膰 wynik b tego pot臋gowania:

a^c=b

Zastan贸wmy si臋 teraz, co w sytuacji, gdy znamy podstaw臋 pot臋gi i jej warto艣膰, a nie znamy wyk艂adnika pot臋gi?

W niekt贸rych przypadkach b臋dzie to proste np.:

4^c=64


wtedy  c=3 , poniewa偶 4^3 = 64

W innych nieco bardziej skomplikowane:

8^c=16

wtedy c= \frac{4}{3}, poniewa偶:

8^{\frac{4}{3}}= (\sqrt[3]{8})^4=2^4=16

Jeszcze trudniej robi si臋 w przypadku, gdy:

2^c=3

Wida膰, 偶e pot臋gi c nie jeste艣my w stanie wyznaczy膰 tak, jak w poprzednich przypadkach.
W艂a艣nie w takich sytuacjach na ratunek przychodz膮 logarytmy.

Logarytmem przy podstawie a聽(a聽> 0 i聽a聽鈮犅1) z liczby b聽(b聽> 0) nazywamy liczb臋 c, do kt贸rej nale偶y podnie艣膰 liczb臋 a, 偶eby otrzyma膰 liczb臋 b.

Powy偶sze zdanie zapisane za pomoc膮 symboli wygl膮da tak:

log_a鈥媌聽= c聽鉄 a^c = b 

Logarytm dziesi臋tny

Logarytm przy podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesi臋tnym. Przyjmujemy, 偶e w przypadku tego logarytmu nie zapisujemy jego podstawy, czyli np. logarytm dziesi臋tny z liczby 7 oznaczamy: log7.

Zobaczmy, jak dzia艂a logarytmowanie na kilku prostych przyk艂adach:

W rozwi膮zywaniu zada艅 z u偶yciem logarytm贸w przydatne s膮 poni偶sze w艂asno艣ci (prawa dzia艂a艅 na logarytmach).

Je艣li a, x 鈭 鈩漘+ \{1},
b, c, y 鈭 鈩漘+,  n 鈭 鈩
to prawdziwe s膮 poni偶sze wzory:

1. a^{log_ab}=b

2. log_ab^n=n\cdot log_ab

3. log_a(b\cdot c)=log_ab+log_ac
(logarytm iloczynu jest r贸wny sumie logarytm贸w)

4. log_a(\frac{b}{c})=log_ab-log_ac
(logarytm ilorazu jest r贸wny r贸偶nicy logarytm贸w)

5. log_xy=\frac{log_ay}{log_ax}
(wz贸r na zmian臋 podstaw logarytm贸w)

Przyk艂ady

1. Obliczy膰 warto艣膰 wyra偶enia  6^{log}鈦6^4.

Rozwi膮zanie:
Zauwa偶my, 偶e mo偶emy skorzysta膰 ze wzoru 1., poniewa偶 podstaw膮 pot臋gi i podstaw膮 logarytmu jest ta sama liczba. Zatem mamy:

6^{log}6^4

2. Obliczy膰 warto艣膰 wyra偶enia

\frac{\log_3 243}{\log_8 64}

Rozwi膮zanie:
Zauwa偶my, 偶e  243 = 3^5 oraz  64 = 8^2, czyli mo偶emy zapisa膰:

\frac{\log_3 243}{\log_8 64}= \frac{\log_3 3^5}{\log_8 8^2}=...

Nast臋pnie korzystamy ze wzoru 2. i dostajemy:

...= \frac{5 \cdot \log_3 3}{2 \cdot \log_8 8} = \frac{5}{2}

3. Obliczy膰 warto艣膰 wyra偶enia  log_{2}20 + log鈦{2}6,4 .

Rozwi膮zanie:
Zauwa偶my, 偶e w powy偶szym wyra偶eniu mamy sum臋 logarytm贸w przy tych samych podstawach. Zatem mo偶emy skorzysta膰 ze wzoru 3.

log_220+log_26,4=
=log_2(20\cdot6,4)=log_2128=...

Zauwa偶my, 偶e 128 = 2^7 , czyli korzystaj膮c ze wzoru 2., mo偶emy zapisa膰:

...=log_22^7=7\cdot log_22=7\cdot 1=7

4. Obliczy膰 warto艣膰 wyra偶enia \log_{\sqrt{3}} \ 9\sqrt{3}

Rozwi膮zanie:
Zauwa偶my, 偶e w powy偶szym wyra偶eniu liczb膮 logarytmowan膮 jest iloczyn liczb 9 i 鈭3.
Zatem, korzystaj膮c ze wzoru 3., dostajemy:

\log_{\sqrt{3}} (9 \cdot \sqrt{3}) = \log_{\sqrt{3}} 9 + \log_{3} \sqrt{3}=...

Zauwa偶my, 偶e  9= \sqrt{3}^4 , czyli, korzystaj膮c ze wzoru 2., mamy:

... = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3}^4 + 1 = 
= 4 \cdot \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} + 1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5

5. Obliczy膰 warto艣膰 wyra偶enia

\log_{\frac{3}{5}} 9 - 2 \log_{\frac{3}{5}} 5

Rozwi膮zanie:
Najpierw korzystamy ze wzoru 2.:

\log_{\frac{3}{5}} 9 - 2 \log_{\frac{3}{5}} 5 =
= \log_{\frac{3}{5}} 9 - \log_{\frac{3}{5}} 5^2 =
=\log_{\frac{3}{5}} 9 - \log_{\frac{3}{5}} 25 = ...

Nast臋pnie, poniewa偶 mamy r贸偶nic臋 logarytm贸w przy tych samych podstawach, mo偶emy skorzysta膰 ze wzoru 4.

... = \log_{\frac{3}{5}} \frac{9}{25}=
\log_{\frac{3}{5}} (\frac{3}{5})^2=
=2 \cdot \log_{\frac{3}{5}} \frac{3}{5}=
=2 \cdot 1 = 2

6. Obliczy膰 warto艣膰 wyra偶enia log鈦78 \cdot log鈦89 \cdot log_97.

Rozwi膮zanie:
Skorzystamy ze wzoru 5. na zamian臋 podstawy logarytmu i przedstawimy powy偶sze wyra偶enie w zale偶no艣ci od logarytmu przy podstawie 7. Otrzymujemy:

\log_7 8 \cdot \log_8 9 \cdot \log_9 7=
= \log_7 8 \cdot \frac{\log_7 9}{\log_7 8} \cdot \frac{\log_7 7}{\log_7 9} =
= \log_7 7=1

Zastosowanie logarytm贸w

Cho膰 obecnie ta informacja mo偶e zaskakiwa膰, to zastosowanie logarytm贸w znacznie zmniejszy艂o czas wykonywania skomplikowanych oblicze艅. Korzystaj膮c z powy偶ej przedstawionych wzor贸w, mo偶na zast膮pi膰 mno偶enie i dzielenie liczb du偶o prostszymi dzia艂aniami (dodawaniem i odejmowaniem). Prze艣led藕my to na przyk艂adzie.

Spr贸bujmy samodzielnie na kartce wykona膰 mno偶enie:

1,23 \cdot 4,62 \cdot 5,36 \cdot 6,18


Po cierpliwym wykonaniu do艣膰 偶mudnych i d艂ugotrwa艂ych rachunk贸w otrzymamy:

1,23 \cdot 4,62 \cdot 5,36 \cdot 6,18=
=5,6826\cdot5,36\cdot6,18=
=30,458736\cdot6,18=
=188,23498848鈮188,235

Teraz przenie艣my si臋 na chwil臋 do XVII w. i spr贸bujmy wykona膰 to samo zadanie z u偶yciem logarytmu.

x=1,23\cdot4,62\cdot5,36\cdot6,18


logarytmujemy r贸wnanie stronami i otrzymujemy  (x>0, x鈮1) :

log_x=log(1,23\cdot 4,62\cdot 5,36\cdot 6,18

Korzystaj膮c z tego, 偶e logarytm iloczynu jest r贸wny sumie logarytm贸w, dostajemy:

log_x=log1,23+log4,62+log5,36+log6,18

Warto艣ci odpowiednich logarytm贸w dziesi臋tnych odczytujemy z tablic logarytmicznych (powsta艂ych w XVII w.) i dostajemy:

log x =log1,23+log4,62+
+log5,36+log6,18鈮
鈮0,09+0,6646+0,7292+
+0,791=2,2748

Teraz ponownie za pomoc膮 tablic logarytmicznych sprawdzamy, dla jakiej liczby x warto艣膰 logarytmu dziesi臋tnego tej liczby jest r贸wna 2,2748. Dostajemy
x 鈮 188,278

Otrzymana dok艂adno艣膰 tak przeprowadzonych rachunk贸w jest bardzo cz臋sto zupe艂nie wystarczaj膮ca.

Logarytmy dziesi臋tne znajduj膮 zastosowanie m.in. w chemii (maj膮 zwi膮zek z okre艣laniem odczynu roztworu) czy te偶 w fizyce (w akustyce).

Przyk艂ad (zadanie z matury 2016)

Skala Richtera s艂u偶y do okre艣lenia si艂y trz臋sie艅 ziemi. Si艂a ta opisana jest wzorem R = \log \frac{A}{A_0} , gdzie A oznacza amplitud臋 trz臋sienia wyra偶on膮 w centymetrach,   A_0鈥=10^{鈭4}cm  jest sta艂膮, nazywan膮 amplitud膮 wzorcow膮. 5 maja 2004 roku w Tajlandii mia艂o miejsce trz臋sienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitud臋 trz臋sienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona wi臋ksza, czy mniejsza od 100 cm.

Rozwi膮zanie:
Wstawiaj膮c do podanego wzoru:

A_0=10^{-4}\ cm
R=6,2


otrzymujemy:

6,2 = \log \frac{A}{10^{-4}}

Korzystaj膮c z definicji logarytmu:

log_ab=c \iff a^c=b

otrzymujemy:

10^{6,2} = \frac{A}{10^{-4}} \ \ \ | \cdot 10^{-4}
10^{6,2} \cdot 10^{-4} = A
10^{6,2-4} = A
10^{2,2} = A

Zauwa偶my, 偶e:

10^{2,2} \ cm > 10^2 \ cm = 100 \ cm

czyli amplituda trz臋sienia ziemi w Tajlandii by艂a wi臋ksza ni偶 100 cm, poniewa偶 wynosi艂a 102,2 cm.

Utrwal wiedz臋

Poni偶ej znajduj膮 si臋 zadania wraz z odpowiedziami, do rozwi膮zania kt贸rych wykorzystano wiedz臋 zaprezentowan膮 w tym artykule.

Zadanie 1. Zadanie 2.

Odrabiamy logo

Odrabiamy.pl to serwis edukacyjny dla uczni贸w, kt贸ry tworz膮 nauczyciele. W naszej bazie znajdziesz opracowania zada艅 z aktualnych podr臋cznik贸w do ponad 20 przedmiot贸w szkolnych, testy 贸smoklasisty i maturalne, a tak偶e wideolekcje oraz do艣wiadczenia w formie wideo. Pomagamy w nauce. Razem.


漏 2024 blog odrabiamy - odrabiamy.pl